Encontre a derivada da função:
f(x)=\left(\frac{x+1}{x^{2}+1}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\Bigl(\frac{x+1}{x^2+1}\Bigr)^4. O conteúdo envolve aplicação da regra da cadeia e da regra do quociente.

Passo 2

Identificamos a função externa
g(u)=u^4
e a função interna
h(x)=\frac{x+1}{x^2+1}.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x) =4\bigl(h(x)\bigr)^3\cdot h'(x).

Passo 3

Para calcular h'(x) use a regra do quociente com
u(x)=x+1,\quad v(x)=x^2+1.
Temos
u'(x)=1,\quad v'(x)=2x,
então
h'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{1\cdot(x^2+1)-(x+1)\cdot2x}{(x^2+1)^2} =\frac{x^2+1-2x^2-2x}{(x^2+1)^2} =\frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}.

Passo 4

Substituindo em
f'(x)=4\bigl(h(x)\bigr)^3\cdot h'(x)
obtemos
f'(x) =4\left(\frac{x+1}{x^2+1}\right)^3 \cdot\frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2} =\frac{-4\,(x+1)^3\,(x^2+2x-1)}{(x^2+1)^5}.

Resposta

f'(x)=\frac{-4\,(x+1)^3\,(x^2+2x-1)}{(x^2+1)^5}.

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