Se f(x)=x^{3}. calcule o quociente da diferença \frac{f(2+h)-f(2)}{h} e simplifique sua resposta.
(c) Diga qual é o domínio e a imagem de f.

Passo 1

O enunciado nos dá a função \,f(x)=x^{3}\, e pede duas coisas:
  1. Calcular o quociente de diferença \displaystyle \frac{f(2+h)-f(2)}{h}
  2. Dizer o domínio e a imagem de f.
    O conteúdo envolvido é álgebra elementar para expandir potências e simplificar frações, e a compreensão de domínio e imagem de uma função polinomial.

Passo 2

Para calcular f(2+h) aplicamos a definição de f:
f(2+h) = (2+h)^{3}.
Expandindo o cubo, temos
(2+h)^{3} = 2^{3} + 3\cdot2^{2}\,h + 3\cdot2\,h^{2} + h^{3} = 8 + 12h + 6h^{2} + h^{3}.

Passo 3

Agora montamos o quociente de diferença:
\frac{f(2+h)-f(2)}{h} = \frac{\bigl(8 + 12h + 6h^{2} + h^{3}\bigr) - 8}{h} = \frac{12h + 6h^{2} + h^{3}}{h} = 12 + 6h + h^{2}.

Passo 4

Como f(x)=x^{3} é um polinômio de grau ímpar com coeficientes reais, ele está definido para todo real e atinge todo valor real.
Portanto,
o domínio de f é \mathbb{R} e a imagem de f também é \mathbb{R}.

Resposta

\displaystyle \frac{f(2+h)-f(2)}{h} = 12 + 6h + h^{2}.
Domínio: \mathbb{R}.
Imagem: \mathbb{R}.

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