Encontre a derivada da função.
f(x)=\sqrt[4]{\frac{x^{3}+1}{x^{3}-1}}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt[4]{\frac{x^3+1}{x^3-1}}
Este problema envolve composição de funções e quociente, então vamos usar a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Reescrevo f como f(x)=h\bigl(g(x)\bigr) onde
g(x)=\frac{x^3+1}{x^3-1}, \qquad h(u)=u^{\tfrac14}.
Pela regra da cadeia vale
f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
Como h(u)=u^{1/4}, temos
h'(u)=\frac{1}{4}\,u^{-3/4}.
Logo
f'(x)=\frac{1}{4}\,g(x)^{-3/4}\;g'(x).

Passo 3

Agora calculo g'(x) pela regra do quociente:
g'(x) =\frac{(x^3-1)\,\bigl(3x^2\bigr)\;-\;(x^3+1)\,\bigl(3x^2\bigr)}{(x^3-1)^2} =\frac{3x^2\bigl(x^3-1 - x^3 -1\bigr)}{(x^3-1)^2} =\frac{-6x^2}{(x^3-1)^2}.

Passo 4

Substituindo em f'(x)=\tfrac14\,g^{-3/4}(x)\,g'(x) temos
f'(x) =\frac{1}{4}\,\Bigl(\frac{x^3+1}{x^3-1}\Bigr)^{-3/4}\;\cdot\;\Bigl(\!-\frac{6x^2}{(x^3-1)^2}\Bigr).
Reescrevendo \bigl(\tfrac{x^3+1}{x^3-1}\bigr)^{-3/4}=(x^3+1)^{-3/4}\,(x^3-1)^{3/4} e simplificando os fatores, obtemos
f'(x) =-\frac{6x^2}{4}\;(x^3+1)^{-3/4}\;(x^3-1)^{3/4-2} =-\frac{3x^2}{2}\;(x^3+1)^{-3/4}\;(x^3-1)^{-5/4}.

Passo 5

Escrevendo de forma mais compacta em potências fracionárias, a derivada final é
f'(x) =-\frac{3x^2}{2\,(x^3+1)^{3/4}\,(x^3-1)^{5/4}}.

Resposta

f'(x) =-\frac{3x^2}{2\,(x^3+1)^{3/4}\,(x^3-1)^{5/4}}.

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