Resolva as EDO’s de Euler-Cauchy abaixo:
5 x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+\frac{64}{20} y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy
5x^{2}y''-3x y'+\frac{64}{20}\,y=0.
Esse tipo de EDO costuma ser resolvido assumindo uma solução do tipo y=x^{m} e depois encontrando a equação característica para m.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar os coeficientes dividindo tudo por 5. Assim obtemos
x^2y'' - \frac{3}{5}x y' + \frac{16}{25}y = 0,
pois \tfrac{64}{20}\div5 = \tfrac{64}{100}=\tfrac{16}{25}.

Passo 3

Agora assumimos y=x^{m}. Isso implica
y' = m x^{m-1}, \qquad y'' = m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo na EDO simplificada, temos
x^2\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr] - \frac{3}{5}x\bigl[m x^{m-1}\bigr] + \frac{16}{25}x^{m} = 0.
Fatorando x^m, chega-se à equação para m:
m(m-1) - \frac{3}{5}m + \frac{16}{25} = 0.

Passo 4

Vamos limpar denominadores multiplicando por 25:
25m(m-1) - 15m + 16 = 0 \;\Longrightarrow\; 25m^2 - 25m - 15m + 16 = 0 \;\Longrightarrow\; 25m^2 - 40m + 16 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-40)^2 - 4\cdot25\cdot16 = 1600 - 1600 = 0,
ou seja, há raiz dupla
m = \frac{40}{2\cdot25} = \frac{4}{5}.

Passo 5

Para uma raiz dupla m=m_1=\tfrac{4}{5}, a solução geral da EDO de Euler–Cauchy é
y(x) = C_{1}\,x^{\frac{4}{5}} + C_{2}\,x^{\frac{4}{5}}\ln(x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C_{1}\,x^{\tfrac{4}{5}} + C_{2}\,x^{\tfrac{4}{5}}\ln(x).

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