5 (2.0 pts). Considere a função f(x)=x^{3}+2 x^{2}-4 x+2. Determine os pontos critios desta funçâo e decida se os mesmos são extremos (míximo ou mínimo local).

Passo 1

O enunciado pede para acharmos os pontos críticos da função
f(x)=x^{3}+2x^{2}-4x+2
e decidirmos se cada um é máximo ou mínimo local. Para isso, vamos usar cálculo de derivadas: primeiro encontramos f'(x), depois resolvemos f'(x)=0 para os pontos críticos e, por fim, usamos o teste da segunda derivada f''(x) para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada de f usando as regras de potência:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(2x^{2}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(4x\bigr)+\frac{d}{dx}(2) =3x^{2}+4x-4.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=3x^{2}+4x-4=0.
O discriminante é
\Delta = 4^{2}-4\cdot3\cdot(-4)=16+48=64,
logo as raízes são
x=\frac{-4\pm\sqrt{64}}{2\cdot3} =\frac{-4\pm8}{6},
isto é,
x=-2 \quad\text{e}\quad x=\frac{2}{3}.

Passo 4

Calculamos a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+4x-4\bigr)=6x+4.
Para x=-2:
f''(-2)=6\cdot(-2)+4=-12+4=-8<0,
o que indica que em x=-2 temos um máximo local.
Para x=\tfrac{2}{3}:
f''\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)=6\cdot\tfrac{2}{3}+4=4+4=8>0,
o que indica que em x=\tfrac{2}{3} temos um mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são
x=-2\quad(\text{máximo local}) \quad\text{e}\quad x=\tfrac{2}{3}\quad(\text{mínimo local}).áí

Exercícios relacionados