4(2,0 \mathrm{pts}). A reta r é tangente ao gráfico da função f(x)=x^{4}+x^{3}-x na origem O=(0,0) e intersecta este gráfico em um outro ponto A.
(a) Calcule a equação cartesiana de r (Dica: vocé pode usar a fórmula da equaçấo da reta tangente, dada por: y-y_{0}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right), onde x_{0} e y_{0} sào as coordenadas do ponto de tangència);
(b) Determine as coordenadas x e y do ponto A.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{4}+x^{3}-x
e pede (a) a reta r que é tangente ao gráfico de f na origem O=(0,0) e (b) o outro ponto A onde r intercepta o mesmo gráfico. Para isso precisamos usar a derivada de f para achar o declive da tangente em O e depois resolver o sistema formado por y=f(x) e pela equação de r.

Passo 2

Calculamos a derivada
f'(x)=4x^{3}+3x^{2}-1,
então em x_{0}=0 temos
f'(0)=-1.
A reta tangente em O=(0,0) satisfaz
y - 0 = f'(0)\,(x-0),
logo
y = -x.

Passo 3

Para achar o ponto A\neq O em que a reta y=-x corta o gráfico, igualamos
x^{4}+x^{3}-x = -x.
Transferindo -x para o lado esquerdo:
x^{4}+x^{3}-x + x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{4}+x^{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}(x+1)=0.
As soluções são x=0 (origem) e x=-1. Então o outro ponto tem x=-1.

Passo 4

A ordenada de A vem de y=-x ou de f(x). Substituindo x=-1 em y=-x
y = -(-1) = 1.
Portanto
A = (-1,\,1).

Resposta

(a) y = -x
(b) A = (-1,1)

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