. A reta
é tangente ao gráfico da função
na origem
e intersecta este gráfico em um outro ponto
.
(a) Calcule a equação cartesiana de
(Dica: vocé pode usar a fórmula da equaçấo da reta tangente, dada por:
, onde
e
sào as coordenadas do ponto de tangència);
(b) Determine as coordenadas
e
do ponto
.
(a) Calcule a equação cartesiana de
(b) Determine as coordenadas
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede (a) a reta
que é tangente ao gráfico de
na origem
e (b) o outro ponto
onde
intercepta o mesmo gráfico. Para isso precisamos usar a derivada de
para achar o declive da tangente em
e depois resolver o sistema formado por
e pela equação de
.
Passo 2
Calculamos a derivada
então em
temos
A reta tangente em
satisfaz
logo
Passo 3
Para achar o ponto
em que a reta
corta o gráfico, igualamos
Transferindo
para o lado esquerdo:
As soluções são
(origem) e
. Então o outro ponto tem
.
Passo 4
A ordenada de
vem de
ou de
. Substituindo
em
dá
Portanto
Resposta
(a)
(b)
(b)