Encontre a derivada da função.
G(z)=(1-4 z)^2 raizz^2+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
G(z) = (1-4z)^2,raizz^2+1
Aqui vamos usar a regra do produto (para duas funções f(z) e g(z))
l(fgr)' = f',g + f,g',
e a regra da cadeia para derivar potências.

Passo 2

Definimos
f(z) = (1-4z)^2, g(z) = raizz^2+1 = (z^2+1)^tfrac12
Pela regra do produto,
G'(z) = f'(z),g(z) + f(z),g'(z)

Passo 3

Calculamos f'(z) por cadeia: seja u=1-4z, então f=u^2
f'(z) = 2(1-4z)cdotddz(1-4z) = 2(1-4z)cdot(-4) = -8,(1-4z)

Passo 4

Calculamos g'(z) por cadeia:
g(z) = (z^2+1)^tfrac12 implies g'(z) = tfrac12(z^2+1)^-tfrac12cdot 2z = zraizz^2+1

Passo 5

Substituindo em G'(z)=f',g+f,g', obtemos
G'(z) = l[-8(1-4z)r]raizz^2+1 + (1-4z)^2,zraizz^2+1

Passo 6

Para simplificar, escrevemos o primeiro termo com denominador comum raizz^2+1:
-8(1-4z)raizz^2+1 = -8(1-4z),z^2+1raizz^2+1
Então
G'(z) = (1-4z)raizz^2+1l[-8(z^2+1)+z(1-4z)r]
No colchete: -8z^2-8 + z -4z^2 = -12z^2+z-8. Logo
G'(z) = -(1-4z)l(12z^2-z+8r)raizz^2+1 = (4z-1),(12z^2-z+8)raizz^2+1

Resposta

G'(z) = (4z-1),(12z^2-z+8)raizz^2+1

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