Encontre a derivada da função indicada. Justifique suas respostas, indicando alguns passos do cálculo e/ou regras utilizadas. Simplifique suas respostas sempre que possível.
y=(1-x^2) tg x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada da função y = (1 - x^2) tan x . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas, especificamente usando a regra do produto e as derivadas das funções básicas como a tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma função que é o produto de duas outras funções, como aqui (1 - x^2) e tan x , usamos a Regra do Produto. Essa regra diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v' .

Passo 3

Vamos identificar as duas partes da nossa função:
  • u = 1 - x^2
  • v = tan x
Agora, vamos encontrar as derivadas de cada uma:
  • A derivada de u , ou seja, u' , é a derivada de 1 - x^2 . Sabemos que a derivada de 1 é 0 e a de -x^2 é -2x . Então, u' = -2x .
  • A derivada de v , ou seja, v' , é a derivada de tan x . A derivada da tangente é sec^2 x . Então, v' = sec^2 x .

Passo 4

Aplicando a Regra do Produto, a derivada de y será:
y' = u' cdot v + u cdot v'
Substituindo os valores que encontramos:
y' = (-2x) cdot tan x + (1 - x^2) cdot sec^2 x

Resposta

A derivada da função é:
y' = -2x tan x + (1 - x^2) sec^2 x

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