Nos exercícios 35 a 38, encontre a série de Maclaurin para cada função, indicando o intervalo de convergência da expansão.
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de . Aqui o conteúdo é expansão em série de potências centrada em zero (Maclaurin). Para isso vamos usar a série conhecida de e em seguida multiplicar por .
Passo 2
Lembrando que a série de Maclaurin de é
essa expansão vale para todo .
Passo 3
Multiplicando termo a termo por , obtemos
Passo 4
Para verificar o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão em termos gerais. Tomando o termo genérico
vemos que
Como esse limite é 0 para todo x, a série converge para todo real.
Resposta
xsin x = sumn=0^infty(-1)^n x^2n+2(2n+1)!, intervalo de convergência: (-infty,infty) ê