Nos exercícios 35 a 38, encontre a série de Maclaurin para cada função, indicando o intervalo de convergência da expansão.
f(x)=x sen x

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=xsin x. Aqui o conteúdo é expansão em série de potências centrada em zero (Maclaurin). Para isso vamos usar a série conhecida de sin x e em seguida multiplicar por x.

Passo 2

Lembrando que a série de Maclaurin de sin x é
sin x = sumn=0^infty(-1)^n x^2n+1(2n+1)!
essa expansão vale para todo xinR.

Passo 3

Multiplicando termo a termo por x, obtemos
xsin x = x sumn=0^infty(-1)^n x^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty(-1)^n x^2n+2(2n+1)!

Passo 4

Para verificar o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão em termos gerais. Tomando o termo genérico
an = (-1)^nx^2n+2(2n+1)!,
vemos que
limntoinfty |an+1an| = limntoinfty |x|^2(n+1)+2(2(n+1)+1)!cdot(2n+1)!|x|^2n+2 = limntoinfty|x|^2(2n+3)(2n+2) = 0
Como esse limite é 0 para todo x, a série converge para todo real.

Resposta

xsin x = sumn=0^infty(-1)^n x^2n+2(2n+1)!, intervalo de convergência: (-infty,infty) ê

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