Encontre a derivada da função indicada. Justifique suas respostas, indicando alguns passos do cálculo e/ou regras utilizadas. Simplifique suas respostas sempre que possível.
y=x^3+72

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função y = x^3 + 72 . Isso envolve o conteúdo de Derivadas em Cálculo, especificamente aplicando regras básicas de derivação como a regra da soma e a regra da constante. Vamos precisar entender como derivar potências de x e lidar com constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para deixar mais fácil de derivar. A função dada é y = x^3 + 72 . Podemos dividir cada termo pelo 2:
y = x^32 + 72
Isso nos facilita aplicar as regras de derivação.

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo separadamente. Para isso, usamos a Regra da Soma, que diz que a derivada da soma de funções é a soma das derivadas.
ddx( x^32 + 72 ) = ddx( x^32 ) + ddx( 72 )

Passo 4

Vamos derivar x^32 . Aqui, usamos a Regra da Constante Multiplicativa e a Regra do Expoente. A regra do expoente nos diz que a derivada de x^n é n cdot x^n-1 .
ddx( x^32 ) = 12 cdot ddx(x^3) = 12 cdot 3x^2 = 3x^22

Passo 5

Agora, vamos derivar 72 . Como essa é uma constante (não depende de x ), a sua derivada é zero:
ddx( 72 ) = 0

Resposta

Somando as derivadas dos termos, temos:
dydx = 3x^22 + 0 = 3x^22

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