Encontre a derivada da função indicada. Justifique suas respostas, indicando alguns passos do cálculo e/ou regras utilizadas. Simplifique suas respostas sempre que possível.
y=raizx^7-2 x+5

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. A função que queremos derivar é y = raizx^7 - 2x + 5 . Para resolver isso, vamos precisar da Regra da Cadeia, que é usada quando temos uma função dentro de outra função.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação:
y = (x^7 - 2x + 5)^12
Aqui, vemos que temos uma função externa u^12 onde u = x^7 - 2x + 5 .

Passo 3

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia, que diz que a derivada de y = f(u) é:
y' = f'(u) cdot u'
Primeiro, derivamos a função externa em relação a u :
f'(u) = 12 u^-12 = 12 raizu

Passo 4

Em seguida, derivamos a função interna u = x^7 - 2x + 5 em relação a x :
u' = 7x^6 - 2

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia juntando as duas derivadas:
y' = f'(u) cdot u' = 12 raizx^7 - 2x + 5 cdot (7x^6 - 2)

Passo 6

Podemos simplificar a expressão final reorganizando os termos:
y' = 7x^6 - 22 raizx^7 - 2x + 5

Resposta

A derivada da função y = raizx^7 - 2x + 5 é:
y' = 7x^6 - 22 raizx^7 - 2x + 5

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