Nos exercícios 35 a 38, encontre a série de Maclaurin para cada função, indicando o intervalo de convergência da expansão.
f(x)=ln (1+x^2)

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Maclaurin de
f(x)=lnl(1+x^2r)
ou seja, queremos escrever f(x) como série em potências de x em torno de 0, e também encontrar o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.

Passo 2

A teoria básica é a expansão de Maclaurin de
ln(1+t)=sumn=1^infty(-1)^n-1,t^nn,
válida para lvert trvert<1. Vamos usar essa fórmula tomando t=x^2.

Passo 3

Substituindo t=x^2 na série de ln(1+t), obtemos
lnl(1+x^2r) =sumn=1^infty(-1)^n-1,(x^2)^nn =sumn=1^infty(-1)^n-1,x^2nn

Passo 4

Para achar o raio de convergência, aplicamos o critério da razão a
an = (-1)^n-1,x^2nn
Calculamos
limntoinftyl|an+1anr| =limntoinftylvert xrvert^2(n+1)n+1,nlvert xrvert^2n =lvert xrvert^2;limntoinftynn+1 =lvert xrvert^2
A série converge se lvert xrvert^2<1, isto é, lvert xrvert<1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 5

Falta checar os extremos x=pm1. Para x=1 a série vira
sumn=1^infty(-1)^n-1,1^2nn =sumn=1^infty(-1)^n-1,1n,
que converge condicionalmente (série alternada de Leibniz) para ln2. Para x=-1 temos o mesmo termo x^2n=1, logo a mesma série e mesma convergência condicional.

Resposta

lnl(1+x^2r) =sumn=1^infty(-1)^n-1,x^2nn, com intervalo de convergência -1<= x<=1 (raio R=1) ê

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