Encontre a derivada da função indicada. Justifique suas respostas, indicando alguns passos do cálculo e/ou regras utilizadas. Simplifique suas respostas sempre que possível.
f(x)=raizx+1x

Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar a derivada da função f(x) = raizx + 1x . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente das regras de derivação. Vamos precisar saber como derivar funções com expoentes fracionários e funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que seja mais fácil de derivar. Sabemos que raizx é o mesmo que x^1/2 . Então, nossa função fica:
f(x) = x^1/2 + 1x

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo separadamente. Para isso, vamos usar a Regra do Poder, que diz que se temos uma função x^n , sua derivada é n cdot x^n-1 .

Passo 4

Vamos aplicar a Regra do Poder ao primeiro termo, x^1/2 :
ddx ( x^1/2 ) = 12 cdot x^1/2 - 1 = 12 x^-1/2

Passo 5

Agora, vamos derivar o segundo termo, 1x . Podemos reescrever isso como x^-1 para facilitar a aplicação da Regra do Poder:
ddx ( x^-1 ) = -1 cdot x^-1 - 1 = -x^-2

Passo 6

Agora, juntamos as derivadas dos dois termos:
f'(x) = 12 x^-1/2 - x^-2

Passo 7

Por fim, vamos simplificar a expressão, voltando a escrever as potências negativas como frações:
f'(x) = 12 raizx - 1x^2

Resposta

A derivada da função f(x) = raizx + 1x é:
f'(x) = 12 raizx - 1x^2

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