Encontre a derivada da função indicada. Justifique suas respostas, indicando alguns passos do cálculo e/ou regras utilizadas. Simplifique suas respostas sempre que possível.
y=cos (tg(5 x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função y = cos(tan(5x)) . Esse tipo de problema pertence ao estudo de Cálculo Diferencial, mais especificamente ao cálculo de derivadas de funções compostas. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial quando lidamos com funções dentro de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão compostas. Temos uma função externa, que é o cosseno ( cos ), e dentro dela, uma função interna, que é a tangente multiplicada por 5x ( tan(5x) ). A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas multiplicando a derivada da função externa pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia. A derivada de y = cos(u) em relação a x , onde u = tan(5x) , é:
dydx = -sin(u) cdot dudx
Aqui, derivamos o cosseno, que dá -sin(u) , e multiplicamos pela derivada da função interna u .

Passo 4

Agora, precisamos calcular dudx , onde u = tan(5x) . A derivada de tan(v) em relação a v é sec^2(v) , então aplicando a regra da cadeia novamente:
dudx = sec^2(5x) cdot ddx(5x)

Passo 5

Derivando 5x em relação a x , obtemos simplesmente 5 . Então:
dudx = sec^2(5x) cdot 5 = 5sec^2(5x)

Passo 6

Voltando à nossa derivada original:
dydx = -sin(tan(5x)) cdot 5sec^2(5x)
Podemos simplificar essa expressão multiplicando os termos:
dydx = -5sin(tan(5x))sec^2(5x)

Resposta

A derivada da função y = cos(tan(5x)) é:
dydx = -5,sin(tan(5x)), sec^2(5x)

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