Encontre a derivada da função indicada. Justifique suas respostas, indicando alguns passos do cálculo e/ou regras utilizadas. Simplifique suas respostas sempre que possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função
. Esse tipo de problema pertence ao estudo de Cálculo Diferencial, mais especificamente ao cálculo de derivadas de funções compostas. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é essencial quando lidamos com funções dentro de outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão compostas. Temos uma função externa, que é o cosseno (
), e dentro dela, uma função interna, que é a tangente multiplicada por
(
). A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas multiplicando a derivada da função externa pela derivada da função interna.
Passo 3
Vamos aplicar a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
, onde
, é:
Aqui, derivamos o cosseno, que dá
, e multiplicamos pela derivada da função interna
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular
, onde
. A derivada de
em relação a
é
, então aplicando a regra da cadeia novamente:
Passo 5
Derivando
em relação a
, obtemos simplesmente
. Então:
Passo 6
Voltando à nossa derivada original:
Podemos simplificar essa expressão multiplicando os termos:
Resposta
A derivada da função
é: