Encontre a derivada da função indicada. Justifique suas respostas, indicando alguns passos do cálculo e/ou regras utilizadas. Simplifique suas respostas sempre que possível.
g(x)=(2-x)(7+x^5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função g(x) = (2 - x)(7 + x^5) . Isso está ligado ao conteúdo de Derivadas, mais especificamente à Regra do Produto, que usamos quando temos duas funções multiplicadas. Para resolver, vamos precisar aplicar essa regra e conhecer como derivar funções básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Regra do Produto. Se a gente tem duas funções, digamos u(x) e v(x) , a derivada de u(x) cdot v(x) é dada por:
u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Isso significa que a gente vai derivar a primeira função, multiplicar pela segunda sem derivar, e depois somar isso com a primeira função sem derivar multiplicada pela derivada da segunda.

Passo 3

Vamos identificar as duas funções no nosso caso:
u(x) = 2 - x e v(x) = 7 + x^5
Agora, vamos derivar cada uma delas separadamente.

Passo 4

Derivando u(x) :
u'(x) = ddx(2) - ddx(x) = 0 - 1 = -1
Derivando v(x) :
v'(x) = ddx(7) + ddx(x^5) = 0 + 5x^4 = 5x^4

Passo 5

Aplicando a Regra do Produto:
g'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
g'(x) = (-1) cdot (7 + x^5) + (2 - x) cdot (5x^4)

Passo 6

Agora, vamos simplificar essa expressão:
g'(x) = -7 - x^5 + 10x^4 - 5x^5
Juntando os termos semelhantes:
g'(x) = -7 + 10x^4 - 6x^5

Resposta

A derivada da função g(x) = (2 - x)(7 + x^5) é:
g'(x) = -7 + 10x^4 - 6x^5

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