Use a Definição 2 para achar uma expressão para a área sob o gráfico de
como um limite. Não calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar a área sob o gráfico da função
no intervalo de
a
, usando a Definição 2. Isso significa que vamos usar a definição de integral como um limite de somas de Riemann. Para isso, vamos precisar entender como dividir o intervalo em pequenas partes e somar as áreas desses retângulos que aproximam a área total.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo
em
subintervalos iguais. Isso ajuda a tornar a soma mais precisa conforme
aumenta. O tamanho de cada subintervalo, que chamamos de
, é calculado assim:
Passo 3
Agora, vamos determinar os pontos onde vamos avaliar a função
. Esses pontos são chamados de pontos de amostragem. Para simplificar, vamos usar os pontos à direita de cada subintervalo. O
-ésimo ponto é dado por:
onde
vai de
até
.
Passo 4
Com os pontos de amostragem definidos, podemos expressar a soma de Riemann. Essa soma aproxima a área sob a curva somando as áreas de retângulos com base
e altura
. A soma fica assim:
Passo 5
Finalmente, a definição de integral como um limite de somas de Riemann nos leva à expressão para a área sob o gráfico de
. Então, a área
é:
Resposta
A expressão para a área sob o gráfico de
no intervalo de
a
como um limite é: