Use a Definição 2 para achar uma expressão para a área sob o gráfico de f como um limite. Não calcule o limite. f(x) = raiz(3)(x), 0 <= x <= 8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é encontrar a área sob o gráfico da função no intervalo de a , usando a Definição 2. Isso significa que vamos usar a definição de integral como um limite de somas de Riemann. Para isso, vamos precisar entender como dividir o intervalo em pequenas partes e somar as áreas desses retângulos que aproximam a área total.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais. Isso ajuda a tornar a soma mais precisa conforme aumenta. O tamanho de cada subintervalo, que chamamos de , é calculado assim:

Passo 3

Agora, vamos determinar os pontos onde vamos avaliar a função . Esses pontos são chamados de pontos de amostragem. Para simplificar, vamos usar os pontos à direita de cada subintervalo. O -ésimo ponto é dado por:
onde vai de até .

Passo 4

Com os pontos de amostragem definidos, podemos expressar a soma de Riemann. Essa soma aproxima a área sob a curva somando as áreas de retângulos com base e altura . A soma fica assim:

Passo 5

Finalmente, a definição de integral como um limite de somas de Riemann nos leva à expressão para a área sob o gráfico de . Então, a área é:

Resposta

A expressão para a área sob o gráfico de no intervalo de a como um limite é:

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