Use a Definição 2 para achar uma expressão para a área sob o gráfico de f como um limite. Não calcule o limite. f(x) = 5 + raiz(cubica(x)), 1 <= x <= 8

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos encontrar a área sob o gráfico da função no intervalo de até . Para isso, vamos usar a Definição 2, que basicamente nos ajuda a calcular integrais usando somas de Riemann. Ou seja, vamos dividir o intervalo em pedacinhos, calcular uma soma para cada pedacinho e depois juntar tudo isso como um limite.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais. Cada subintervalo terá uma largura de:
Isso significa que cada pedacinho tem a mesma largura, o que facilita nossos cálculos.

Passo 3

Agora, vamos escolher um ponto dentro de cada subintervalo para avaliar a função . Vamos optar pelo ponto direito, que é uma escolha comum. O -ésimo ponto fica em:
onde vai de 1 até .

Passo 4

Com os pontos definidos, podemos montar a soma de Riemann que aproxima a área. A soma fica assim:
Á
Isso representa a soma das áreas dos retângulos formados em cada subintervalo.

Passo 5

Finalmente, para encontrar a área exata sob o gráfico da função, vamos pegar o limite dessa soma quando o número de subintervalos tende ao infinito:
Á

Resposta

A expressão para a área sob o gráfico de no intervalo de como um limite é:
Á

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