Use a Definição 2 para achar uma expressão para a área sob o gráfico de
como um limite. Não calcule o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos encontrar a área sob o gráfico da função
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar a Definição 2, que basicamente nos ajuda a calcular integrais usando somas de Riemann. Ou seja, vamos dividir o intervalo em pedacinhos, calcular uma soma para cada pedacinho e depois juntar tudo isso como um limite.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o intervalo
em
subintervalos iguais. Cada subintervalo terá uma largura de:
Isso significa que cada pedacinho tem a mesma largura, o que facilita nossos cálculos.
Passo 3
Agora, vamos escolher um ponto dentro de cada subintervalo para avaliar a função
. Vamos optar pelo ponto direito, que é uma escolha comum. O
-ésimo ponto fica em:
onde
vai de 1 até
.
Passo 4
Com os pontos definidos, podemos montar a soma de Riemann que aproxima a área. A soma fica assim:
Isso representa a soma das áreas dos retângulos formados em cada subintervalo.
Passo 5
Finalmente, para encontrar a área exata sob o gráfico da função, vamos pegar o limite dessa soma quando o número de subintervalos
tende ao infinito:
Resposta
A expressão para a área sob o gráfico de
no intervalo de
como um limite é: