Encontre a derivada da função y^{\prime} e/ou f^{\prime}(x).
e^{y} \operatorname{sen} x=1+\cos \left(x^{2} y\right),

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
e^{y}\sin x = 1 + \cos\bigl(x^{2}y\bigr)
e pede para encontrar \displaystyle y'=\frac{dy}{dx}.
O conteúdo principal aqui é diferenciação implícita, usando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x.
No lado esquerdo, temos o produto e^{y}\sin x. Aplicando regra do produto e lembrando que \frac{d}{dx}e^{y}=e^{y}y', obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(e^{y}\sin x\bigr) = e^{y}y'\,\sin x \;+\; e^{y}\cos x.

Passo 3

No lado direito, derivamos 1 + \cos(x^{2}y). A derivada de 1 é zero, e para \cos(u) usamos regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\cos(u) = -\sin(u)\,\frac{du}{dx},
com u = x^{2}y. Agora
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{2}y) = 2x\,y \;+\; x^{2}y'.
Logo
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x^{2}y)\bigr) = -\sin(x^{2}y)\,\bigl(2x\,y + x^{2}y'\bigr).

Passo 4

Igualando as derivadas dos dois lados, temos
e^{y}y'\,\sin x + e^{y}\cos x = -\sin(x^{2}y)\,\bigl(2x\,y + x^{2}y'\bigr).
Agora separamos os termos que contêm y' de um lado:
e^{y}y'\,\sin x \;+\; x^{2}y'\,\sin(x^{2}y) = -\,e^{y}\cos x \;-\; 2x\,y\,\sin(x^{2}y).

Passo 5

Fatoramos y' no lado esquerdo:
y'\,\Bigl(e^{y}\sin x + x^{2}\sin(x^{2}y)\Bigr) = -\,e^{y}\cos x - 2x\,y\,\sin(x^{2}y).
Isolando y', obtém-se
y' = \frac{-\,e^{y}\cos x \;-\; 2x\,y\,\sin(x^{2}y)} {e^{y}\sin x + x^{2}\sin(x^{2}y)}.

Resposta

y' = \frac{-\,e^{y}\cos x \;-\; 2x\,y\,\sin\bigl(x^{2}y\bigr)} {e^{y}\sin x + x^{2}\,\sin\bigl(x^{2}y\bigr)}.

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