Encontre a derivada da função y^{\prime} e/ou f^{\prime}(x).
y=e^{e \sqrt{x}},

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = e^{\,e\sqrt{x}}
ou seja, precisamos usar derivada de função exponencial composta e regra da cadeia envolvendo uma raiz.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = e\sqrt{x}
de modo que
y = e^{\,u(x)}.
Pela regra da cadeia,
y' = \frac{d}{dx}\bigl(e^{u(x)}\bigr) = e^{u(x)}\cdot u'(x).

Passo 3

Agora calculamos
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(e\sqrt{x}\bigr) = e\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{\tfrac12}\bigr) = e\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e}{2\sqrt{x}}.

Passo 4

Substituindo em y' = e^{u(x)}\,u'(x), temos
y' = e^{\,e\sqrt{x}}\cdot\frac{e}{2\sqrt{x}}.

Resposta

y' = \frac{e}{2\sqrt{x}}\;e^{\,e\sqrt{x}}.

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