Utilize a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado:
y^{(4)}-\mathrm{y}=0 ; \mathrm{y}(0)=0, \mathrm{y}^{\prime}(0)=1, \mathrm{y}^{\prime \prime}(0)=0, \mathrm{y}^{\prime}{ }^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede resolver, por Transformada de Laplace, o problema de valor inicial
y^{(4)}(t) - y(t) = 0
com condições iniciais
y(0)=0,\quad y'(0)=1,\quad y''(0)=0,\quad y'''(0)=0.
Vamos usar a propriedade da Laplace para derivadas e depois frações parciais.

Passo 2

Tomando a Transformada de Laplace em ambos os lados obtemos
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}(s)\;-\;\mathcal{L}\{y\}(s)=0.
Como
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}(s)=s^4Y(s)-s^3y(0)-s^2y'(0)-s\,y''(0)-y'''(0),
e \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s), vamos inserir as condições iniciais.

Passo 3

Substituindo y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)=0 e y'''(0)=0, a equação vira
s^4Y(s)-s^2 - Y(s)=0
ou seja
Y(s)\bigl(s^4-1\bigr)=s^2 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{s^2}{s^4-1}.

Passo 4

Fatoramos s^4-1=(s^2-1)(s^2+1)=(s-1)(s+1)(s^2+1) e fazemos frações parciais:
\frac{s^2}{(s-1)(s+1)(s^2+1)} =\frac{1/4}{s-1}-\frac{1/4}{s+1}+\frac{1/2}{s^2+1}.

Passo 5

Agora basta aplicar a transformada inversa em cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s-1)\}=e^t,
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s+1)\}=e^{-t},
\mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+1)\}=\sin t.
Logo
y(t) =\frac{1}{4}e^t-\frac{1}{4}e^{-t}+\frac{1}{2}\sin t =\frac{1}{2}\operatorname{sinh} t+\frac{1}{2}\sin t.

Resposta

y(t)=\frac{1}{2}\operatorname{sinh} t+\frac{1}{2}\sin t.

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