Encontre a derivada da função. Simplifíque o resultado sempre que possível.
h(x)=(arcsen x) ln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
h(x) = (arcsin x),ln x,
cujo domínio efetivo é 0<x<=1. Vamos usar o regra do produto para derivar, além das fórmulas
ddx(arcsin x)=1raiz1-x^2, ddx(ln x)=1x

Passo 2

Aplicando a regra do produto em h(x)=(arcsin x)cdot(ln x), temos
h'(x) =l(arcsin xr)',ln x +arcsin x,l(ln xr)'

Passo 3

Substituindo as derivadas conhecidas, obtemos
h'(x) =1raiz1-x^2;ln x +arcsin x;1x

Passo 4

Para simplificar, colocamos sobre o mesmo denominador xraiz1-x^2. Note que
ln xraiz1-x^2 =x,ln xxraiz1-x^2, arcsin xx =raiz1-x^2,arcsin xxraiz1-x^2
Somando as frações, resulta
h'(x) =x,ln x + raiz1-x^2,arcsin xxraiz1-x^2

Resposta

h'(x) =ln xraiz1-x^2 +arcsin xx ;=; x,ln x + raiz1-x^2,arcsin xxraiz1-x^2

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