Encontre a derivada da função. Simplifique o resultado sempre que possível.
h(x)=(\arcsin x) \ln x

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=(\arcsin x)\ln x e pede para encontrar a derivada e simplificar o resultado sempre que possível.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A função é o produto de duas funções: \arcsin x e \ln x.
  • A função \ln x só está definida para x>0.
  • A função \arcsin x está definida para -1\le x\le1.
    Portanto o domínio da função h (interseção dos domínios) é 0<x\le1.
    Agora vamos derivar passo a passo.

Passo 2

Como temos um produto de funções, vamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que, se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui escolhemos
u(x)=\arcsin x,\qquad v(x)=\ln x.
Vamos calcular u'(x) e v'(x) separadamente e depois aplicar a regra do produto.

Passo 3

Cálculo de u'(x) com u(x)=\arcsin x. Vou explicar por que a derivada de \arcsin x vale o que vale:
Defina y=\arcsin x. Por definição de arco-seno temos \sin y = x. Diferenciando ambos os lados em relação a x (usando derivada implícita) obtemos
\cos y\cdot \frac{dy}{dx}=1.
Logo
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}.
Agora usamos a identidade trigonométrica \cos^2 y = 1-\sin^2 y. Como \sin y = x, isto dá \cos y = \sqrt{1-x^2}. (Aqui tomamos o sinal positivo da raiz porque para y=\arcsin x o ângulo y está em [-\pi/2,\pi/2] onde \cos y\ge0.) Portanto
u'(x)=\frac{d}{dx}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 4

Cálculo de v'(x) com v(x)=\ln x. A derivada natural do logaritmo é bem conhecida e vale, para x>0,
v'(x)=\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}.
(Isto vem da definição do logaritmo natural ou da derivada de e^{\ln x}=x.)

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
h'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v' encontramos
h'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cdot \ln x + \arcsin x\cdot \frac{1}{x}.
Colocando em ordem mais usual,
h'(x)=\frac{\arcsin x}{x} + \frac{\ln x}{\sqrt{1-x^2}}.
Podemos também escrever essa soma como uma única fração com denominador comum x\sqrt{1-x^2}. Fazendo isso:
\frac{\arcsin x}{x} = \frac{\arcsin x\sqrt{1-x^2}}{x\sqrt{1-x^2}},\qquad \frac{\ln x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{x\ln x}{x\sqrt{1-x^2}}.
Somando,
h'(x)=\frac{\arcsin x\sqrt{1-x^2} + x\ln x}{x\sqrt{1-x^2}}.
Ambas as formas acima são equivalentes; a escolha depende de qual formato você prefere na prova.

Passo 6

Resumo e observações finais rápidas (tipo incentivo): derivamos usando regra do produto + derivadas conhecidas de \arcsin x e \ln x. Lembre-se de que todo esse cálculo só vale para x no domínio da função, isto é, para 0<x\le1. Você se saiu bem — continue praticando mais produtos com funções inversas e logaritmos!

Resposta

h'(x)=\frac{\arcsin x}{x} + \frac{\ln x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\arcsin x\sqrt{1-x^2} + x\ln x}{x\sqrt{1-x^2}}

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