Encontre a derivada da função. Simplifique o resultado sempre que possível.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada e simplificar o resultado sempre que possível.
Informações relevantes que temos do enunciado:
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A função é o produto de duas funções:
e . - A função
só está definida para . - A função
está definida para .
Portanto o domínio da função(interseção dos domínios) é .
Agora vamos derivar passo a passo.
Passo 2
Como temos um produto de funções, vamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que, se
e
são funções diferenciáveis, então
Aqui escolhemos
Vamos calcular
e
separadamente e depois aplicar a regra do produto.
Passo 3
Cálculo de
com
. Vou explicar por que a derivada de
vale o que vale:
Defina
. Por definição de arco-seno temos
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(usando derivada implícita) obtemos
Logo
Agora usamos a identidade trigonométrica
. Como
, isto dá
. (Aqui tomamos o sinal positivo da raiz porque para
o ângulo
está em
onde
.) Portanto
Passo 4
Cálculo de
com
. A derivada natural do logaritmo é bem conhecida e vale, para
,
(Isto vem da definição do logaritmo natural ou da derivada de
.)
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
encontramos
Colocando em ordem mais usual,
Podemos também escrever essa soma como uma única fração com denominador comum
. Fazendo isso:
Somando,
Ambas as formas acima são equivalentes; a escolha depende de qual formato você prefere na prova.
Passo 6
Resumo e observações finais rápidas (tipo incentivo): derivamos usando regra do produto + derivadas conhecidas de
e
. Lembre-se de que todo esse cálculo só vale para
no domínio da função, isto é, para
. Você se saiu bem — continue praticando mais produtos com funções inversas e logaritmos!