Encontre a derivada da função f(x)=x^sen(x^x), para x>0. Solução de Nome (matricula), Nome (matricula),… :

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada da função f(x) = x^sin(x^x) para valores de x > 0 . Isso envolve derivadas de funções com expoentes que também são funções de x , então vamos precisar usar algumas regras de cálculo, como a regra da cadeia e a diferenciação de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, para facilitar a derivação, vamos usar o logaritmo natural. Assim, aplicamos o logaritmo dos dois lados da equação:
ln(f(x)) = ln(x^sin(x^x))
Isso nos ajuda porque o logaritmo de uma potência pode ser simplificado.

Passo 3

Agora, usamos a propriedade dos logaritmos que diz que ln(a^b) = b cdot ln(a) . Aplicando isso:
ln(f(x)) = sin(x^x) cdot ln(x)
Assim, transformamos a função original em uma multiplicação mais simples.

Passo 4

Em seguida, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x . Lembrando que se temos ln(f(x)) , sua derivada será f'(x)f(x) pelo uso da regra da cadeia:
f'(x)f(x) = ddx[ sin(x^x) cdot ln(x) ]
Agora, precisamos derivar o lado direito.

Passo 5

Para derivar sin(x^x) cdot ln(x) , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v' . Aqui, u = sin(x^x) e v = ln(x) :
ddx[ sin(x^x) cdot ln(x) ] = cos(x^x) cdot ddx(x^x) cdot ln(x) + sin(x^x) cdot ddx(ln(x))

Passo 6

Agora, vamos derivar x^x . Para isso, também usamos o logaritmo:
ln(x^x) = x cdot ln(x)
Derivando ambos os lados:
1x^x cdot ddx(x^x) = ln(x) + 1
Portanto:
ddx(x^x) = x^x (ln(x) + 1)

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
cos(x^x) cdot x^x (ln(x) + 1) cdot ln(x) + sin(x^x) cdot 1x
Simplificando:
f'(x)f(x) = x^x cdot ln(x) cdot cos(x^x) (ln(x) + 1) + sin(x^x)x

Passo 8

Agora, queremos isolar f'(x) . Multiply both sides by f(x) :
f'(x) = f(x) [ x^x cdot ln(x) cdot cos(x^x) (ln(x) + 1) + sin(x^x)x ]
Lembrando que f(x) = x^sin(x^x) , substituímos de volta:
f'(x) = x^sin(x^x) [ x^x cdot ln(x) cdot cos(x^x) (ln(x) + 1) + sin(x^x)x ]

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = x^sin(x^x) ( x^x ln(x) cos(x^x) (ln(x) + 1) + sin(x^x)x )

Exercícios relacionados