Show that
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
O conteúdo envolve a definição da transformada de Laplace, a definição integral de
e técnicas de troca de ordem de integração e uso da integral gaussiana.
Passo 2
Começamos pela definição da transformada de Laplace:
Passo 3
Usamos a definição da função erro complementar:
Logo
e a transformada fica
Passo 4
Na dupla integral
o domínio em
é
, que reescreve como
. Assim trocamos a ordem:
Passo 5
Calculamos primeiro a integral em
:
Logo
Passo 6
Separamos em duas integrais gaussianas:
Para
temos
e para
temos
. Então
Passo 7
Bastou simplificar