Show that Lerfc raizt=1raizs+1raizs+1+1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
F(s)=Llerfc(raizt)r(s) =1raizs+1,l(raizs+1+1r)
O conteúdo envolve a definição da transformada de Laplace, a definição integral de erfc(x) e técnicas de troca de ordem de integração e uso da integral gaussiana.

Passo 2

Começamos pela definição da transformada de Laplace:
F(s) =integral0^inftye^-s,t,erfcl(raiztr),dt

Passo 3

Usamos a definição da função erro complementar:
erfc(x) =2raizpiintegralx^inftye^-u^2,du
Logo
erfc(raizt) =2raizpiintegralraizt^inftye^-u^2,du,
e a transformada fica
F(s) =integral0^inftye^-s,t,2raizpil(integralraizt^inftye^-u^2,dur),dt

Passo 4

Na dupla integral
integral0^infty!integralraizt^inftye^-s,te^-u^2,du,dt
o domínio em (t,u) é 0<= t<infty,;u>=raizt, que reescreve como u>=0,;0<= t<= u^2. Assim trocamos a ordem:
F(s) =2raizpiintegralu=0^inftyintegralt=0^u^2e^-s,te^-u^2,dt,du

Passo 5

Calculamos primeiro a integral em t:
integral0^u^2e^-s,t,dt =l[-tfrac1se^-s,tr]0^u^2 =1-e^-s,u^2s
Logo
F(s) =2raizpiintegral0^infty1-e^-s,u^2s,e^-u^2,du =2raizpi,sintegral0^inftyl(e^-u^2-e^-(s+1)u^2r),du

Passo 6

Separamos em duas integrais gaussianas:
integral0^inftye^-a,u^2,du =12raizpia
Para a=1 temos integral0^inftye^-u^2du=tfracraizpi2 e para a=s+1 temos integral0^inftye^-(s+1)u^2du=tfracraizpi2raizs+1. Então
F(s) =2raizpi,sl(raizpi2-raizpi2raizs+1r) =1sl(1-1raizs+1r)

Passo 7

Bastou simplificar
1sl(1-1raizs+1r) =raizs+1-1s,raizs+1 =raizs+1-1s,raizs+1cdotraizs+1+1raizs+1+1 =ss,raizs+1,(raizs+1+1) =1raizs+1,(raizs+1+1)

Resposta

Lerfc(raizt)(s) =1raizs+1,l(raizs+1+1r)

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