Encontre a derivada da função, usando a definição. Determine os Domínios da função e de sua derivada.
f(x)=\frac{4-3 x}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a derivada de f usando a definição de derivada (ou seja, pelo limite do quociente incremental) e (2) determinar os domínios de f e de f'. A função dada é
f(x)=\frac{4-3x}{x+2}.
Informações importantes que recebemos do enunciado: o numerador é 4-3x e o denominador é x+2. Note que onde o denominador fica zero a função não está definida, isto é, x=-2 é um ponto a ser observado (a resolução começará de verdade no Passo 2).

Passo 2

Vou escrever a definição de derivada e explicar o que cada coisa significa. A definição de derivada em um ponto x é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento em x. A ideia prática é calcular a diferença entre o valor da função em x+h e em x, dividir por h (o “ganho” em x) e ver o que acontece quando h tende a zero. Para aplicar essa definição é comum fazer manipulações algébricas que permitam cancelar h no numerador, senão o limite não é direto.

Passo 3

Calcule f(x+h) substituindo x por x+h na expressão de f:
f(x+h)=\frac{4-3(x+h)}{x+h+2}=\frac{4-3x-3h}{x+2+h}.

Passo 4

Forme a diferença f(x+h)-f(x) e coloque em denominador comum. Escrevo
f(x+h)-f(x)=\frac{4-3x-3h}{x+2+h}-\frac{4-3x}{x+2} =\frac{(4-3x-3h)(x+2)- (4-3x)(x+2+h)}{(x+2+h)(x+2)}.
Agora vou expandir e simplificar o numerador com cuidado. Primeiro note que
(4-3x-3h)(x+2)=(4-3x)(x+2)-3h(x+2).
E
(4-3x)(x+2+h)=(4-3x)(x+2)+(4-3x)h.
Subtraindo as duas expressões no numerador temos
(4-3x-3h)(x+2)- (4-3x)(x+2+h) = \big((4-3x)(x+2)-3h(x+2)\big) - \big((4-3x)(x+2)+(4-3x)h\big).
Os termos (4-3x)(x+2) se cancelam, sobrando
-3h(x+2) - (4-3x)h = -h\big(3(x+2)+(4-3x)\big).
Dentro dos parênteses simplificamos:
3(x+2)+(4-3x)=3x+6+4-3x=10.
Portanto o numerador inteiro é simplesmente -10h. Assim
f(x+h)-f(x)=\frac{-10h}{(x+2+h)(x+2)}.

Passo 5

Forme o quociente incremental dividindo por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{-10h}{h\,(x+2+h)(x+2)}=\frac{-10}{(x+2+h)(x+2)}.
Agora tomamos o limite quando h\to 0. Como o denominador (x+2+h)(x+2) é contínuo em h (para x\neq -2), basta substituir h=0 no fator que depende de h:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{-10}{(x+2+h)(x+2)}=\frac{-10}{(x+2)^2}.

Passo 6

Interpretação e observações finais sobre existência: o cálculo acima é válido para todo x tal que os denominadores envolvidos não sejam nulos durante a manipulação, ou seja, precisamos de x\neq -2. Em x=-2 a função f não está definida, portanto não faz sentido falar de derivada aí. Para todo x\neq -2 o limite existe e a função é diferenciável com a derivada que acabamos de encontrar. (Como checagem rápida: podemos reescrever \frac{4-3x}{x+2}=-3+\frac{10}{x+2} e derivar \frac{10}{x+2} para obter o mesmo resultado -\frac{10}{(x+2)^2}.)

Resposta

\displaystyle f'(x)=-\frac{10}{(x+2)^2}
\displaystyle \text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-2\}
\displaystyle \text{Dom}(f')=\mathbb{R}\setminus\{-2\}

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