Encontre a derivada da função, usando a definição. Determine os Domínios da função e de sua derivada.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar a derivada de
usando a definição de derivada (ou seja, pelo limite do quociente incremental) e (2) determinar os domínios de
e de
. A função dada é
Informações importantes que recebemos do enunciado: o numerador é
e o denominador é
. Note que onde o denominador fica zero a função não está definida, isto é,
é um ponto a ser observado (a resolução começará de verdade no Passo 2).
Passo 2
Vou escrever a definição de derivada e explicar o que cada coisa significa. A definição de derivada em um ponto
é
Aqui
é um pequeno incremento em
. A ideia prática é calcular a diferença entre o valor da função em
e em
, dividir por
(o “ganho” em
) e ver o que acontece quando
tende a zero. Para aplicar essa definição é comum fazer manipulações algébricas que permitam cancelar
no numerador, senão o limite não é direto.
Passo 3
Calcule
substituindo
por
na expressão de
:
Passo 4
Forme a diferença
e coloque em denominador comum. Escrevo
Agora vou expandir e simplificar o numerador com cuidado. Primeiro note que
E
Subtraindo as duas expressões no numerador temos
Os termos
se cancelam, sobrando
Dentro dos parênteses simplificamos:
Portanto o numerador inteiro é simplesmente
. Assim
Passo 5
Forme o quociente incremental dividindo por
:
Agora tomamos o limite quando
. Como o denominador
é contínuo em
(para
), basta substituir
no fator que depende de
:
Passo 6
Interpretação e observações finais sobre existência: o cálculo acima é válido para todo
tal que os denominadores envolvidos não sejam nulos durante a manipulação, ou seja, precisamos de
. Em
a função
não está definida, portanto não faz sentido falar de derivada aí. Para todo
o limite existe e a função é diferenciável com a derivada que acabamos de encontrar. (Como checagem rápida: podemos reescrever
e derivar
para obter o mesmo resultado
.)