Encontre a derivada da função.
y=e^{x} \ln x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
y = e^{x}\ln x.
O conteúdo envolvido é a regra do produto e as derivadas básicas de e^{x} e de \ln x.

Passo 2

Seja u(x)=e^{x} e v(x)=\ln x. Pela regra do produto,
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas individuais:
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr) = e^{x}, \qquad v'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr) = \frac{1}{x}.
Substituindo na regra do produto,
y' = e^{x}\ln x + e^{x}\cdot\frac{1}{x}.

Passo 4

Colocando e^{x} em evidência, obtemos
y' = e^{x}\Bigl(\ln x + \frac{1}{x}\Bigr).

Resposta

y' = e^{x}\bigl(\ln x + \frac{1}{x}\bigr)

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