(3,0) Encontre a derivada das funções abaixo.
f(x)=-\frac{\ln (x)}{(3+\Omega) e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = -\frac{\ln(x)}{(3+\Omega)\,e^{x}}.
Aqui vamos usar as regras de derivação: extração de fator constante, produto e cadeia (no caso de e^{-x}).

Passo 2

Extraímos da expressão o fator constante -1/(3+\Omega) e escrevemos
f(x) = -\frac{1}{3+\Omega}\,\ln(x)\,e^{-x}.

Passo 3

Definimos
g(x)=\ln(x), \quad h(x)=e^{-x},
de modo que f(x)=-\frac{1}{3+\Omega}\,g(x)\,h(x).
Pela regra do produto,
\bigl(g(x)h(x)\bigr)' = g'(x)\,h(x) + g(x)\,h'(x).

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
g'(x)=\frac{1}{x}, \quad h'(x)=-e^{-x}.
Logo,
\bigl(g(x)h(x)\bigr)' = \frac{1}{x}\,e^{-x} + \ln(x)\,(-e^{-x}) = e^{-x}\Bigl(\frac{1}{x} - \ln(x)\Bigr).
Multiplicando pelo fator -1/(3+\Omega),
f'(x) = -\frac{1}{3+\Omega}\;e^{-x}\Bigl(\frac{1}{x}-\ln(x)\Bigr) = \frac{e^{-x}}{3+\Omega}\,\Bigl(\ln(x)-\tfrac{1}{x}\Bigr).

Passo 5

Se preferir, volte a escrever e^{-x} no denominador:
f'(x) = \frac{\ln(x)-\tfrac{1}{x}}{(3+\Omega)\,e^{x}}.

Resposta

\boxed{f'(x)=\frac{e^{-x}}{3+\Omega}\,\bigl(\ln(x)-\tfrac{1}{x}\bigr) \quad\text{ou}\quad f'(x)=\frac{\ln(x)-\tfrac{1}{x}}{(3+\Omega)\,e^{x}}.}

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