Questão 4: Resolva o PVI usando a técnica em Séries de Potências: \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-y=0 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=-1\end{array}\right.. Dé a solução do PVI até o quinto termo não nulo.
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' - x\,y' - y = 0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=-1
usando séries de potências. Vamos assumir uma expansão
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
obter a relação de recorrência entre os coeficientes a_n e calcular os primeiros termos usando as condições iniciais.
Reescrevendo o segundo termo como \sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}\,x^{n} e agrupando coeficientes de x^n obtemos a condição para n\ge1(n+2)(n+1)\,a_{n+2} \;-\;(n+1)\,a_{n}=0