Questão 4: Resolva o PVI usando a técnica em Séries de Potências:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-y=0 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=-1\end{array}\right.. Dé a solução do PVI até o quinto termo não nulo.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' - x\,y' - y = 0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=-1
usando séries de potências. Vamos assumir uma expansão
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
obter a relação de recorrência entre os coeficientes a_n e calcular os primeiros termos usando as condições iniciais.

Passo 2

Escrevendo as derivadas em série temos
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)\,a_{n+1}\,x^{n}, \quad y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,a_{n+2}\,x^{n}.
Substituindo em y'' - x\,y' - y=0
\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n} -\;x\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^{n} -\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=0.
Reescrevendo o segundo termo como \sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}\,x^{n} e agrupando coeficientes de x^n obtemos a condição para n\ge1 (n+2)(n+1)\,a_{n+2} \;-\;(n+1)\,a_{n}=0
e, para n=0,
2\,a_{2}-a_{0}=0.

Passo 3

Da equação para n\ge1 temos
a_{n+2}=\frac{(n+1)}{(n+2)(n+1)}\,a_{n} =\frac{a_{n}}{n+2},
e do caso n=0 a_{2}=\frac{a_{0}}{2}.

Passo 4

As condições iniciais dão
y(0)=a_{0}=1, \quad y'(0)=a_{1}=-1.
Usando a recorrência a_{n+2}=a_{n}/(n+2) calculamos:
a_{2}=\frac{a_{0}}{2}=\frac{1}{2},\quad a_{3}=\frac{a_{1}}{3}=-\frac{1}{3},\quad a_{4}=\frac{a_{2}}{4}=\frac{1/2}{4}=\frac{1}{8},\quad a_{5}=\frac{a_{3}}{5}=-\frac{1/3}{5}=-\frac{1}{15}.

Passo 5

Os cinco primeiros termos não nulos da série são
a_{0},\,a_{1}x,\,a_{2}x^{2},\,a_{3}x^{3},\,a_{4}x^{4},
logo a solução até o quinto termo não nulo é
y(x)=1 - x + \tfrac12\,x^{2} - \tfrac13\,x^{3} + \tfrac18\,x^{4} + \cdots.

Resposta

y(x)=1 - x + \frac12\,x^{2} - \frac13\,x^{3} + \frac18\,x^{4} + \dots

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