Encontre a Derivada das Funções:
f(x)=\sqrt{x}\left(x^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\sqrt{x}\,(x^2+1).
Aqui vamos usar a regra do produto (para duas funções multiplicadas) e a regra da potência (para derivar \sqrt{x}=x^{1/2}).

Passo 2

É mais claro reescrever
f(x)=x^{1/2}\,(x^2+1).
Vamos chamar
u(x)=x^{1/2} \quad\text{e}\quad v(x)=x^2+1.

Passo 3

Derivamos cada parte isoladamente:
Para u(x)=x^{1/2}, pela regra da potência,
u'(x)=\tfrac12\,x^{-1/2}.
Para v(x)=x^2+1, pela regra da soma e da potência,
v'(x)=2x.

Passo 4

Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo,
f'(x) =\Bigl(\tfrac12x^{-1/2}\Bigr)(x^2+1) + \bigl(x^{1/2}\bigr)(2x).

Passo 5

Agora simplificamos cada termo:
\Bigl(\tfrac12x^{-1/2}\Bigr)(x^2+1) =\frac{x^2+1}{2\sqrt{x}},
x^{1/2}\,(2x)=2x^{3/2}=\frac{4x^2}{2\sqrt{x}}.
Somando os dois termos sobre o mesmo denominador,
f'(x) =\frac{x^2+1}{2\sqrt{x}}+\frac{4x^2}{2\sqrt{x}} =\frac{5x^2+1}{2\sqrt{x}}.

Resposta

f'(x)=\frac{5x^2+1}{2\sqrt{x}}.

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