Encontre a derivada das funções:
f(x)=\left(1+2 x^{2}\right)\left(x-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(1 + 2x^2\bigr)\,\bigl(x - x^2\bigr).
O conteúdo principal é a regra do produto de funções, além das derivadas básicas de polinômios. Definimos
g(x) = 1 + 2x^2 \quad\text{e}\quad h(x) = x - x^2,
de modo que f(x) = g(x)\,h(x) e usaremos
f'(x) = g'(x)\,h(x) + g(x)\,h'(x).

Passo 2

Calculamos as derivadas de g e h.
Para g(x) = 1 + 2x^2,
g'(x) = 4x.
Para h(x) = x - x^2,
h'(x) = 1 - 2x.

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
f'(x) = g'(x)\,h(x) + g(x)\,h'(x) = 4x\,(x - x^2) \;+\; (1 + 2x^2)\,(1 - 2x).

Passo 4

Agora expandimos e simplificamos termo a termo:
4x\,(x - x^2) = 4x^2 - 4x^3,
(1 + 2x^2)\,(1 - 2x) = 1 - 2x + 2x^2 - 4x^3.
Somando os dois resultados:
f'(x) = \bigl(4x^2 - 4x^3\bigr) + \bigl(1 - 2x + 2x^2 - 4x^3\bigr) = 1 - 2x + (4x^2+2x^2) + (-4x^3 -4x^3),
f'(x) = 1 - 2x + 6x^2 - 8x^3.

Resposta

f'(x) = 1 - 2x + 6x^2 - 8x^3.

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