Utilize a regra do quociente e prove que:
f(x)=\operatorname{cotg} x \rightarrow f^{\prime}(x)=-\operatorname{cossec}^{2} x;

Passo 1

O enunciado pede para derivar \displaystyle f(x)=\operatorname{cotg} x
usando a regra do quociente. Vamos precisar lembrar que \operatorname{cotg} x=\frac{\cos x}{\sin x}
e aplicar a fórmula
(f/g)'=\frac{f'\,g - f\,g'}{g^2}.

Passo 2

Reescrevemos \displaystyle f(x)=\frac{\cos x}{\sin x},
então definimos
u(x)=\cos x,\quad v(x)=\sin x.
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u'(x)=-\sin x,\quad v'(x)=\cos x.

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{(-\sin x)\,\sin x - \cos x\,\cos x}{\sin^2 x}.

Passo 4

No numerador temos -\sin^2 x - \cos^2 x = -(\sin^2 x+\cos^2 x) = -1.
Portanto,
f'(x) =\frac{-1}{\sin^2 x} =-\frac{1}{\sin^2 x} =-\csc^2 x.
Como \csc x=\operatorname{cossec} x, concluímos
f'(x)=-\operatorname{cossec}^2 x.

Resposta

f'(x)=-\operatorname{cossec}^2 x

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