Utilize a regra do quociente e prove que:
f(x)=\operatorname{sec} x \rightarrow f^{\prime}(x)=\operatorname{sec} x . \operatorname{tg} x;

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=\operatorname{sec} x
usando a regra do quociente. Para isso, precisamos lembrar que
  1. \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}.
  2. A derivada de \cos x é -\sin x.
  3. A regra do quociente para duas funções u(x) e v(x) é
\biggl(\frac{u}{v}\biggr)'=\frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}.

Passo 2

Escrevemos
\operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x},
de modo que u(x)=1 e v(x)=\cos x.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=0, \quad v'(x)=\bigl(\cos x\bigr)'=-\sin x.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente, temos
f'(x) =\biggl(\frac{1}{\cos x}\biggr)' =\frac{0\cdot\cos x \;-\;1\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} =\frac{\sin x}{\cos^2 x}.

Passo 5

Para escrever em termos de \operatorname{sec} x e \tan x, note que
\frac{\sin x}{\cos^2 x} =\frac{1}{\cos x}\;\cdot\;\frac{\sin x}{\cos x} =\operatorname{sec} x\;\tan x.

Resposta

f'(x)=\operatorname{sec} x\,\tan x.

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