Encontre as Derivadas:
f(x)=\frac{\sin (x)}{1+\cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}
O conteúdo principal aqui é a regra do quociente de derivadas.

Passo 2

Aplico a regra do quociente: se f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} então
f'(x)=\frac{v(x)\,u'(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.
No nosso caso u(x)=\sin(x) e v(x)=1+\cos(x), logo
u'(x)=\cos(x), \quad v'(x)=-\sin(x),
e
f'(x) =\frac{(1+\cos(x))\cos(x)\;-\;\sin(x)\,(-\sin(x))}{(1+\cos(x))^2}.

Passo 3

Simplifico o numerador usando \sin^2(x)+\cos^2(x)=1:
(1+\cos(x))\cos(x)+\sin^2(x) =\cos(x)+\cos^2(x)+\sin^2(x) =\cos(x)+1.
Logo
f'(x) =\frac{\cos(x)+1}{(1+\cos(x))^2} =\frac{1}{1+\cos(x)}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{1+\cos(x)}.

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