Encontre a derivada das funções a seguir.
f(x)=(2 x-5)^4 cdot(5-8 x^2)^8;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada! A gente precisa encontrar a derivada da função f(x) = (2x - 5)^4 cdot (5 - 8x^2)^8 . Para isso, vamos usar a regra do produto, que é usada quando temos a multiplicação de duas funções. Além disso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar cada uma das partes da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Regra do Produto. Se temos uma função que é o produto de duas funções, u(x) e v(x) , então a derivada de f(x) = u(x) cdot v(x) é dada por:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Aqui, podemos identificar:
  • u(x) = (2x - 5)^4
  • v(x) = (5 - 8x^2)^8

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de u(x) e v(x) , ou seja, u'(x) e v'(x) . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é usada para derivar funções compostas.
A Regra da Cadeia diz que se temos uma função composta h(x) = [g(x)]^n , então a derivada é:
h'(x) = n cdot [g(x)]^n-1 cdot g'(x)

Passo 4

Vamos derivar u(x) = (2x - 5)^4 usando a Regra da Cadeia:
u'(x) = 4 cdot (2x - 5)^3 cdot ddx(2x - 5) = 4 cdot (2x - 5)^3 cdot 2 = 8 cdot (2x - 5)^3
Agora, vamos derivar v(x) = (5 - 8x^2)^8 :
v'(x) = 8 cdot (5 - 8x^2)^7 cdot ddx(5 - 8x^2) = 8 cdot (5 - 8x^2)^7 cdot (-16x) = -128x cdot (5 - 8x^2)^7

Passo 5

Agora que temos u'(x) e v'(x) , vamos aplicar a Regra do Produto:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo:
f'(x) = [8 cdot (2x - 5)^3] cdot (5 - 8x^2)^8 + (2x - 5)^4 cdot [-128x cdot (5 - 8x^2)^7]

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 8(2x - 5)^3(5 - 8x^2)^8 - 128x(2x - 5)^4(5 - 8x^2)^7

Exercícios relacionados