Encontre a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=x^x, x>0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de f(x)=x^x para x>0. Estamos no tópico de derivadas de funções, mais especificamente funções em que tanto a base quanto o expoente dependem de x. Para resolver, vamos usar propriedades de logaritmos e as regras de derivação (regra da cadeia e produto).

Passo 2

Para lidar com a potência variável na base e no expoente, reescrevemos f(x) usando a exponencial e o logaritmo natural:
f(x)=x^x = e^ln(x^x) = e^xln x

Passo 3

Definimos g(x)=xln x. Como f(x)=e^g(x), aplicamos a regra da cadeia: a derivada de e^g(x) é e^g(x)cdot g'(x).
Agora, calculamos g'(x) usando a regra do produto em g(x)=xln x:
g'(x)=ddx(x)cdotln x + xcdotddx(ln x)=1cdotln x + xcdot1x=ln x+1

Passo 4

Substituindo g'(x) na derivada de f, obtemos:
f'(x)=e^xln xcdot(ln x+1)

Resposta

f'(x)=x^x(ln x+1)

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