Dê exemplo de funções f e g tais que lim x +infty f(x)=+infty, lim x +infty g(x)=+infty e lim x +infty[f(x)-g(x)] neq 0.
2. Prove que lim x +infty raiz[n]x=+infty, onde n>0 é um natural.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) dar exemplo de funções f e g tais que ambas tendem a +infty quando xto+infty, mas cuja diferença não tende a zero; (2) provar que, para inteiro n>0,
limxto+inftyraiz[n]x=+infty
Vamos usar definição de limite no infinito: dizer limxto+inftyh(x)=+infty significa que, para todo M>0, existe X tal que, se x>X, então h(x)>M.

Passo 2

Para o exemplo, escolhemos
f(x)=x+1, g(x)=x
Dado M>0, basta tomar X=M. Então, se x>X, temos
f(x)=x+1>M+1>M, g(x)=x>M
Logo limxto+inftyf(x)=limxto+inftyg(x)=+infty.

Passo 3

Calculamos a diferença:
f(x)-g(x)=(x+1)-x=1
Portanto limxto+infty[f(x)-g(x)]=1neq0, como queríamos.

Passo 4

Agora provamos que raiz[n]xto+infty. Seja arbitrário A>0. Escolha
X = A^n
Se x>X, então x>A^n e, como a função tmapsto t^1/n é crescente em [0,+infty), obtemos
raiz[n]x> raiz[n]A^n=A
Isso mostra que, para todo A>0, existe X=A^n tal que x>X implica raiz[n]x>A. Logo
limxto+inftyraiz[n]x=+infty

Resposta

(a) Um exemplo é f(x)=x+1 e g(x)=x, pois ambas vão a +infty e limxto+infty[f(x)-g(x)]=1neq0.
(b) Para provar que limxto+inftyraiz[n]x=+infty, dado A>0 basta tomar X=A^n; então x>X implica raiz[n]x>A.

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