Dê exemplo de funções
e
tais que
e
.
2. Prove que
, onde
é um natural.
2. Prove que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) dar exemplo de funções
e
tais que ambas tendem a
quando
, mas cuja diferença não tende a zero; (2) provar que, para inteiro
,
Vamos usar definição de limite no infinito: dizer
significa que, para todo
, existe
tal que, se
, então
.
Passo 2
Para o exemplo, escolhemos
Dado
, basta tomar
. Então, se
, temos
Logo
.
Passo 3
Calculamos a diferença:
Portanto
, como queríamos.
Passo 4
Agora provamos que
. Seja arbitrário
. Escolha
Se
, então
e, como a função
é crescente em
, obtemos
Isso mostra que, para todo
, existe
tal que
implica
. Logo
Resposta
(a) Um exemplo é
e
, pois ambas vão a
e
.
(b) Para provar que , dado
basta tomar
; então
implica
.
(b) Para provar que