Usando a definição formal, obtenha a derivada das funções abaixo no ponto dado.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar sua derivada no ponto
usando a definição formal de derivada. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é derivada e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição formal da derivada. A derivada de uma função
no ponto
é dada por:
Isso significa que a derivada no ponto
é o limite da razão entre a variação da função e a variação de
, conforme
se aproxima de zero.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição à nossa função
no ponto
:
Agora, precisamos calcular
e
.
Passo 4
Calculando
:
Primeiro, expandimos
:
Então:
Calculando
:
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da derivada:
Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
Agora, calculamos o limite quando
tende a zero:
Resposta
A derivada da função
no ponto
é
.