Usando a definição formal, obtenha a derivada das funções abaixo no ponto dado.
h(x)=3 x^2+6 x, a=1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função h(x) = 3x^2 + 6x e precisamos encontrar sua derivada no ponto a = 1 usando a definição formal de derivada. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é derivada e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição formal da derivada. A derivada de uma função f(x) no ponto a é dada por:
f'(a) = limh to 0 f(a + h) - f(a)h
Isso significa que a derivada no ponto a é o limite da razão entre a variação da função e a variação de x , conforme h se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função h(x) no ponto a = 1 :
h'(1) = limh to 0 h(1 + h) - h(1)h
Agora, precisamos calcular h(1 + h) e h(1) .

Passo 4

Calculando h(1 + h) :
h(1 + h) = 3(1 + h)^2 + 6(1 + h)
Primeiro, expandimos (1 + h)^2 :
(1 + h)^2 = 1 + 2h + h^2
Então:
h(1 + h) = 3(1 + 2h + h^2) + 6(1 + h) = 3 + 6h + 3h^2 + 6 + 6h = 9 + 12h + 3h^2
Calculando h(1) :
h(1) = 3(1)^2 + 6(1) = 3 + 6 = 9

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da derivada:
h'(1) = limh to 0 (9 + 12h + 3h^2) - 9h = limh to 0 12h + 3h^2h
Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por h :
h'(1) = limh to 0 (12 + 3h)

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando h tende a zero:
h'(1) = 12 + 0 = 12

Resposta

A derivada da função h(x) = 3x^2 + 6x no ponto a = 1 é 12 .

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