Dê exemplo de funções f e g tais que lim x p^+ f(x)=L, L neq 0, lim x p^+ g(x)=0, mas lim x p^+ f(x)g(x) não existe.
2. Prove que lim x +infty raiz[n]x=+infty, onde n>0 é um natural.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Dar um exemplo de funções f e g tais que
    limxto p^+f(x)=L com Lneq0,
    limxto p^+g(x)=0,
    mas limxto p^+f(x)g(x) não exista.
  2. Provar que limxto+inftyraiz[n]x=+infty para ninN.
    Para isso vamos usar definições de limite (no ponto e no infinito) e construir um g que zere mas oscile de sinal.

Passo 2

Escolhemos
f(x)=L, g(x)=(x-p),sin!l(tfrac1x-pr),
definidas para x>p.
Como f é constante, fica claro que
limxto p^+f(x)=L
Para g, note que sin(1/(x-p)) fica sempre entre -1 e 1 e (x-p)to0^+, logo
|g(x)| = |x-p|;l|sin!l(tfrac1x-pr)r|<= x-p ;xrightarrow[xto p^+];0,
ou seja limxto p^+g(x)=0.

Passo 3

Agora analiso
f(x)g(x) =L(x-p),sin!l(tfrac1x-pr)
Quando x-p é tal que sin(1/(x-p)) se aproxima de 0^+, o quociente tende a +infty; quando sin(1/(x-p)) se aproxima de 0^-, tende a -infty. Como perto de p há valores de x que fazem sin(1/(x-p)) alternar de sinal infinitamente, o quociente não se aproxima de nenhum valor finito nem de pminfty de forma única. Portanto
limxto p^+f(x)g(x)
não existe.

Passo 4

Para provar limxto+inftyraiz[n]x=+infty, usamos a definição de limite no infinito: mostrar que para todo M>0 existe X tal que, se x>X, então raiz[n]x>M.

Passo 5

Dado M>0, basta escolher
X = M^n
Se x>X=M^n, então x>M^n e, aplicando a função crescente tmapsto raiz[n]t, obtemos
raiz[n]x > raiz[n]M^n = M
Isso mostra que, para todo M>0, existe X (escolhido como M^n) tal que x>X implica raiz[n]x>M. Logo
limxto+inftyraiz[n]x=+infty

Resposta

  1. Um exemplo é
    f(x)=L e
    g(x)=(x-p)sin!l(1/(x-p)r).
    Então limxto p^+f(x)=L, limxto p^+g(x)=0, mas limxto p^+f(x)/g(x) não existe.
  2. Para limxto+inftyraiz[n]x=+infty, dado M>0 tomamos X=M^n. Se x>X então raiz[n]x>M, o que prova o resultado.

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