Dê exemplo de funções e tais que , mas não existe.
2. Prove que , onde é um natural.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Dar um exemplo de funções e tais que com , ,
mas não exista.
Provar que para .
Para isso vamos usar definições de limite (no ponto e no infinito) e construir um que zere mas oscile de sinal.
Passo 2
Escolhemos
definidas para .
Como é constante, fica claro que
Para , note que fica sempre entre e e , logo
ou seja limxto p^+g(x)=0.
Passo 3
Agora analiso
f(x)g(x) =L(x-p),sin!l(tfrac1x-pr)
Quando x-p é tal que sin(1/(x-p)) se aproxima de 0^+, o quociente tende a +infty; quando sin(1/(x-p)) se aproxima de 0^-, tende a -infty. Como perto de p há valores de x que fazem sin(1/(x-p)) alternar de sinal infinitamente, o quociente não se aproxima de nenhum valor finito nem de pminfty de forma única. Portanto
limxto p^+f(x)g(x)
não existe.
Passo 4
Para provar limxto+inftyraiz[n]x=+infty, usamos a definição de limite no infinito: mostrar que para todo M>0 existe X tal que, se x>X, então raiz[n]x>M.
Passo 5
Dado M>0, basta escolher
X = M^n
Se x>X=M^n, então x>M^n e, aplicando a função crescente tmapsto raiz[n]t, obtemos
raiz[n]x > raiz[n]M^n = M
Isso mostra que, para todo M>0, existe X (escolhido como M^n) tal que x>X implica raiz[n]x>M. Logo
limxto+inftyraiz[n]x=+infty
Resposta
Um exemplo é f(x)=L e g(x)=(x-p)sin!l(1/(x-p)r).
Então limxto p^+f(x)=L, limxto p^+g(x)=0, mas limxto p^+f(x)/g(x) não existe.
Para limxto+inftyraiz[n]x=+infty, dado M>0 tomamos X=M^n. Se x>X então raiz[n]x>M, o que prova o resultado.