Exercício 1.10. Determine se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a série
ou seja
O conteúdo principal aqui é reconhecer que o termo geral pode ser escrito de forma a permitir uma decomposição em frações parciais e, assim, revelar um somatório telescópico.
Passo 2
Observe que
Logo podemos reescrever a série como
Passo 3
Fazemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando por
dá
Igualando coeficientes, obtemos
Portanto
Passo 4
Considere a soma parcial até
:
Ao expandir vemos o efeito telescópico:
Passo 5
Tomando o limite
, os termos
e
vão a zero. Logo
Passo 6
Concluímos que a série converge e seu somatório é finito, valendo
.
Resposta
A série converge e