Exercício 1.10. Determine se as séries convergem ou divergem.
13+18+cdots+1(n+1)^2-1+cdots

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
13 + 18 + cdots + 1(n+1)^2-1 + cdots
ou seja
sumn=1^infty 1(n+1)^2-1
O conteúdo principal aqui é reconhecer que o termo geral pode ser escrito de forma a permitir uma decomposição em frações parciais e, assim, revelar um somatório telescópico.

Passo 2

Observe que
(n+1)^2-1 = n^2 + 2n +1 -1 = n(n+2)
Logo podemos reescrever a série como
sumn=1^infty 1n(n+2)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
1n(n+2) = An + Bn+2
Multiplicando por n(n+2)
1 = A(n+2) + Bn = (A+B),n + 2A
Igualando coeficientes, obtemos
A + B = 0, 2A = 1 ;Longrightarrow; A = tfrac12,;B = -tfrac12
Portanto
1n(n+2) = 12l(1n - 1n+2r)

Passo 4

Considere a soma parcial até N:
SN = sumn=1^N 1n(n+2) = 12sumn=1^Nl(1n - 1n+2r)
Ao expandir vemos o efeito telescópico:
SN = 12l[(1+tfrac12) - l(tfrac1N+1+tfrac1N+2r)r]

Passo 5

Tomando o limite Ntoinfty, os termos tfrac1N+1 e tfrac1N+2 vão a zero. Logo
sumn=1^infty1n(n+2) = limNtoinftySN = 12l(1 + tfrac12r) = 34

Passo 6

Concluímos que a série converge e seu somatório é finito, valendo tfrac34.

Resposta

A série converge e
sumn=1^infty1(n+1)^2-1 = 34

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