Estude o comportamento da função h em torno de x0 nos casos:
h(x)=x^3+1x^2-4 com x0=2 e x0=-2

Passo 1

O enunciado pede para estudar o comportamento da função
h(x)=x^3+1x^2-4
em torno de x0=2 e de x0=-2.
O conteúdo que vamos usar é o cálculo de limites laterais para identificar assíntotas verticais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^2-4=(x-2)(x+2)
Isso mostra que possíveis singularidades ocorrem em x=2 e em x=-2.

Passo 3

Analisemos o limite lateral em x0=2.
O numerador em x=2 vale 2^3+1=9>0. O denominador próximo de 2 é
(x-2)(x+2)
  • Para xto2^-, temos x-2<0 muito pequeno e x+2>0, logo x^2-4<0 e
limxto2^-h(x)=9(negativo pequeno)=-infty
  • Para xto2^+, temos x-2>0 pequeno e x+2>0, logo x^2-4>0 e
limxto2^+h(x)=9(positivo pequeno)=+infty

Passo 4

Agora o limite lateral em x0=-2.
O numerador em x=-2 vale (-2)^3+1=-8+1=-7<0. O denominador próximo de -2 é
(x-2)(x+2)
  • Para xto-2^-, temos x+2<0 muito pequeno e x-2<0, logo x^2-4>0 e
limxto-2^-h(x)=-7(positivo pequeno)=-infty
  • Para xto-2^+, temos x+2>0 pequeno e x-2<0, logo x^2-4<0 e
limxto-2^+h(x)=-7(negativo pequeno)=+infty

Passo 5

Concluímos que em x=2 e em x=-2 a função apresenta assíntotas verticais, com os seguintes limites laterais:

Resposta

limxto2^-h(x)=-infty, limxto2^+h(x)=+infty,
limxto-2^-h(x)=-infty, limxto-2^+h(x)=+infty

Exercícios relacionados