Encontre y^{\prime}, sabendo que y é definido implicitamente em relação a x: x e^{y}=y \ln x

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
x e^{y} = y \ln x
e pede \,y'=\frac{dy}{dx}.
O conteúdo é derivação implícita, usando regra do produto e cadeia para diferenciar em relação a x, tratando y como função de x.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, aplicação da regra do produto em x\cdot e^{y(x)}
\frac{d}{dx}\bigl(xe^{y}\bigr) =1\cdot e^{y}+x\cdot e^{y}\,y' = e^{y}+x e^{y}y'.
No lado direito, em y(x)\ln x temos também produto:
\frac{d}{dx}\bigl(y\ln x\bigr) =y'\ln x + y\cdot\frac{1}{x} = y'\ln x+\frac{y}{x}.
Logo a igualdade das derivadas é
e^{y}+x e^{y}y' \;=\; y'\ln x + \frac{y}{x}.

Passo 3

Agrupamos todos os termos com y' num lado e os demais no outro:
x e^{y}y' - y'\ln x = \frac{y}{x} - e^{y}.
Fatorando y',
y'\bigl(x e^{y}-\ln x\bigr) = \frac{y}{x}-e^{y}.
Por fim, isolamos y':
\boxed{y'=\frac{\displaystyle \frac{y}{x}-e^{y}}{\displaystyle x e^{y}-\ln x}}.

Resposta

y'=\frac{\frac{y}{x}-e^{y}}{x e^{y}-\ln x}.

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