Encontre F(s) ou f(s) como indicado.
\&L\left\{e^{-t} \operatorname{sen}^{2} t\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função \displaystyle e^{-t}\,\sin^{2}t.
O conteúdo necessário é:
  1. A identidade trigonométrica para \sin^{2}t.
  2. A transformada de Laplace básica de \sin^{2}t.
  3. O teorema do deslocamento no eixo s: se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s), então
\mathcal{L}\{e^{-a t}f(t)\}=F(s+a).

Passo 2

Usamos a identidade
\sin^{2}t = \frac{1-\cos(2t)}{2}.

Passo 3

Primeiro achamos \mathcal{L}\{\sin^{2}t\} por linearidade:
\mathcal{L}\{\sin^{2}t\} = \frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{1\} - \frac{1}{2}\,\mathcal{L}\{\cos(2t)\} = \frac{1}{2}\,\frac{1}{s} - \frac{1}{2}\,\frac{s}{s^{2}+4}.
Colocando sobre um denominador comum:
\frac{1}{2s}-\frac{s}{2(s^{2}+4)} = \frac{s^{2}+4 - s^{2}}{2s(s^{2}+4)} = \frac{4}{2s(s^{2}+4)} = \frac{2}{s(s^{2}+4)}.
Logo,
\mathcal{L}\{\sin^{2}t\} = \frac{2}{s(s^{2}+4)}.

Passo 4

Agora aplicamos o teorema do deslocamento com a=1:
\mathcal{L}\{e^{-t}\,\sin^{2}t\} = \mathcal{L}\{\sin^{2}t\}\Big|_{s\to s+1} = \frac{2}{(s+1)\bigl((s+1)^{2}+4\bigr)}.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{-t}\,\sin^{2}t\} = \frac{2}{(s+1)\bigl((s+1)^{2}+4\bigr)}.

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