( 2,5 pt ) Encontre a derivada da seguinte função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada da função $ f(x) $ definida por uma integral:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a derivada de uma função definida por uma integral. Para resolver isso, vamos usar a Regra de Leibniz, que nos ajuda a derivar integrais cujos limites são funções de $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Regra de Leibniz para derivar uma integral com limites variáveis. Se temos uma função definida por:
Então, a derivada $ F’(x) $ é dada por:
Ou seja, derivamos a integral substituindo o limite superior na função integranda e multiplicando pela derivada do limite superior, e subtraímos isso pelo mesmo processo com o limite inferior.
Passo 3
Aplicando a Regra de Leibniz à nossa função $ f(x) $:
Aqui, $ a(x) = x^{2} $ e $ b(x) = x + 1 $. A função dentro da integral é:
Então, vamos identificar cada parte necessária para a derivada.
Passo 4
Primeiro, calculamos $ g(b(x)) $:
Depois, encontramos a derivada de $ b(x) $ em relação a $ x $:
Passo 5
Agora, calculamos $ g(a(x)) $:
E a derivada de $ a(x) $ em relação a $ x $:
Passo 6
Aplicando a Regra de Leibniz, temos:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
Portanto, a derivada da função $ f(x) $ é: