( 2,5 pt ) Encontre a derivada da seguinte função
f(x)=integralx^2^x+1 t^100raizt^2+1 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada da função $ f(x) $ definida por uma integral:
f(x)
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a derivada de uma função definida por uma integral. Para resolver isso, vamos usar a Regra de Leibniz, que nos ajuda a derivar integrais cujos limites são funções de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a Regra de Leibniz para derivar uma integral com limites variáveis. Se temos uma função definida por:
F(x) = integrala(x)^b(x) g(t) , dt
Então, a derivada $ F’(x) $ é dada por:
F'(x)
Ou seja, derivamos a integral substituindo o limite superior na função integranda e multiplicando pela derivada do limite superior, e subtraímos isso pelo mesmo processo com o limite inferior.

Passo 3

Aplicando a Regra de Leibniz à nossa função $ f(x) $:
f(x)
Aqui, $ a(x) = x^{2} $ e $ b(x) = x + 1 $. A função dentro da integral é:
f(x) = integralx^2^x+1 t^100raizt^2+1 , dt
Então, vamos identificar cada parte necessária para a derivada.

Passo 4

Primeiro, calculamos $ g(b(x)) $:
g(b(x))
Depois, encontramos a derivada de $ b(x) $ em relação a $ x $:
g(b(x)) = g(x + 1) = (x + 1)^100raiz(x + 1)^2 + 1

Passo 5

Agora, calculamos $ g(a(x)) $:
g(a(x))
E a derivada de $ a(x) $ em relação a $ x $:
g(a(x)) = g(x^2) = (x^2)^100raiz(x^2)^2 + 1 = x^200raizx^4 + 1

Passo 6

Aplicando a Regra de Leibniz, temos:
f'(x) = g(b(x)) cdot b'(x) - g(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
f'(x) = (x + 1)^100raiz(x + 1)^2 + 1 cdot 1 - x^200raizx^4 + 1 cdot 2x

Resposta

Portanto, a derivada da função $ f(x) $ é:
f(x)

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