Encontre a derivada da seguinte função trigonométrica:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função dada. A função fornecida é
Informações relevantes:
- A função está escrita como uma fração: numerador
e denominador . - O objetivo é encontrar
.
Passo 2
Escolha do método: é mais prático reescrever a função como um produto e usar a regra do produto em vez da regra do quociente. Reescrevendo:
Motivo: a regra do produto com uma potência negativa costuma ser mais direta e as contas ficam simples. (Se quiser, a regra do quociente daria o mesmo resultado, mas aqui usamos produto porque é mais simples.)
Passo 3
Lembrete das regras que vamos usar (explicadas de forma direta):
- Regra do produto: se
e são funções, então
Aqui
é a derivada de
em relação a
, e
é a derivada de
em relação a
.
- Regra da potência (power rule): para
com constante,
- Derivada da função seno: para
,
Estas fórmulas são básicas e servem para montar a derivada passo a passo.
Passo 4
Identificar os fatores e calcular suas derivadas:
- Tome
. Então, pela derivada do seno,
- Tome
. Aplicando a regra da potência com ,
Expliquei: peguei o expoente
, multipliquei por
e diminui o expoente em uma unidade:
.
Passo 5
Aplicar a regra do produto:
Substituindo
:
Ou seja,
Passo 6
Fazer a simplificação algébrica para uma forma única com denominador comum. Colocando sobre o mesmo denominador
:
Subtraindo:
Essa é uma forma compacta e elegante para a derivada.