Encontre a derivada da seguinte função trigonométrica:
y=\frac{\sin x}{x^{2}}\'

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função dada. A função fornecida é
y=\frac{\sin x}{x^{2}}.
Informações relevantes:
  • A função está escrita como uma fração: numerador \sin x e denominador x^{2}.
  • O objetivo é encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Escolha do método: é mais prático reescrever a função como um produto e usar a regra do produto em vez da regra do quociente. Reescrevendo:
y=\sin x\cdot x^{-2}.
Motivo: a regra do produto com uma potência negativa costuma ser mais direta e as contas ficam simples. (Se quiser, a regra do quociente daria o mesmo resultado, mas aqui usamos produto porque é mais simples.)

Passo 3

Lembrete das regras que vamos usar (explicadas de forma direta):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
( u\cdot v )' = u' \cdot v + u \cdot v'.
Aqui u' é a derivada de u em relação a x, e v' é a derivada de v em relação a x.
  • Regra da potência (power rule): para v(x)=x^{n} com n constante,
v'(x)=n x^{n-1}.
  • Derivada da função seno: para u(x)=\sin x,
u'(x)=\cos x.
Estas fórmulas são básicas e servem para montar a derivada passo a passo.

Passo 4

Identificar os fatores e calcular suas derivadas:
  • Tome u(x)=\sin x. Então, pela derivada do seno,
u'(x)=\cos x.
  • Tome v(x)=x^{-2}. Aplicando a regra da potência com n=-2,
v'(x) = -2 x^{-3}.
Expliquei: peguei o expoente -2, multipliquei por x^{-2} e diminui o expoente em uma unidade: -2-1=-3.

Passo 5

Aplicar a regra do produto:
y' = u' \cdot v + u \cdot v'
Substituindo u,u',v,v':
y' = \cos x \cdot x^{-2} + \sin x \cdot (-2 x^{-3}).
Ou seja,
y' = \frac{\cos x}{x^{2}} - \frac{2\sin x}{x^{3}}.

Passo 6

Fazer a simplificação algébrica para uma forma única com denominador comum. Colocando sobre o mesmo denominador x^{3}:
\frac{\cos x}{x^{2}} = \frac{x\cos x}{x^{3}}, \qquad \frac{2\sin x}{x^{3}} = \frac{2\sin x}{x^{3}}.
Subtraindo:
y' = \frac{x\cos x - 2\sin x}{x^{3}}.
Essa é uma forma compacta e elegante para a derivada.

Resposta

y'=\frac{x\cos x - 2\sin x}{x^{3}}

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