Uma função diferenciável f tem, no ponto ( 1,1 ), derivada direcional igual a 5 na direção i-2 j e igual a -2 na direção 2 i+j. Calcule:
(1, 0) Du f(1,1) para u=i+j.

Passo 1

O enunciado diz que f é diferenciável em (1,1) e que as derivadas direcionais são
Dv1f(1,1)=5em direção v1=i-2j, çã
Dv2f(1,1)=-2em direção v2=2i+j çã
Como f é diferenciável, existe nabla f(1,1)=(a,b) e para qualquer vetor v,
Dvf(1,1)=nabla f(1,1)cdotv|v|
Queremos então Duf(1,1) com u=i+j.

Passo 2

Escrevemos as equações para v1 e v2. Como |v1|=raiz1^2+(-2)^2=raiz5 e |v2|=raiz2^2+1^2=raiz5, temos
a-2braiz5=5, 2a+braiz5=-2
Multiplicando cada uma por raiz5 vem
a-2b=5raiz5, 2a+b=-2raiz5

Passo 3

Resolvendo o sistema
a-2b=5raiz5, 2a+b=-2raiz5,
da segunda equação b=-2raiz5-2a. Substituindo na primeira:
a-2(-2raiz5-2a)=5raiz5 ;Longrightarrow; 5a+4raiz5=5raiz5 ;Longrightarrow; a=raiz55
Logo
b=-2raiz5-2raiz55 =-12raiz55

Passo 4

Para u=i+j temos |u|=raiz2 e
Duf(1,1) =nabla f(1,1)cdotu|u| =a+braiz2
Substituindo a e b:
a+b=raiz55-12raiz55 =-11raiz55,
Duf(1,1) =-11raiz55raiz2 =-11raiz1010

Resposta

Duf(1,1)=-11raiz1010

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