Encontre a derivada das seguintes funções:
(b) f(x)=cos ^2(sec (x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função f(x) = cos^2(sec(x)) . Aqui estamos lidando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções que estão dentro de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função que temos: f(x) = cos^2(sec(x)) . Isso significa que temos o cosseno de sec(x) , e todo esse resultado está elevado ao quadrado. Quando temos uma função dentro de outra, como é o caso aqui, a regra da cadeia é essencial para encontrar a derivada.

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia passo a passo. A regra da cadeia nos diz que, para derivar uma função composta, precisamos derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna.
Aqui, nossa função externa é cos^2(u) , onde u = sec(x) .

Passo 4

Primeiro, derivamos a função externa em relação a u . Se temos cos^2(u) , a derivada em relação a u é:
ddu[cos^2(u)] = 2cos(u) cdot (-sin(u)) = -2cos(u)sin(u)

Passo 5

Agora, precisamos derivar a função interna u = sec(x) em relação a x . A derivada de sec(x) é:
ddx[sec(x)] = sec(x)tan(x)

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia multiplicando a derivada da função externa pela derivada da função interna:
f'(x) = -2cos(sec(x))sin(sec(x)) cdot sec(x)tan(x)

Passo 7

Podemos simplificar um pouco a expressão. Lembrando que 2cos(a)sin(a) = sin(2a) , temos:
f'(x) = -sin(2sec(x)) cdot sec(x)tan(x)

Resposta

A derivada da função é
f'(x) = -2,cos(sec(x)),sin(sec(x)),sec(x),tan(x)

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