Encontre a derivada das seguintes funções:
(g) f(x)=1(x^2+2)^100

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar a derivada da função f(x) = 1(x^2+2)^100 . A matéria que estamos trabalhando aqui é cálculo diferencial, especificamente usando a regra da cadeia e a regra do poder. Para resolver, vamos precisar aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A função f(x) = 1(x^2+2)^100 pode ser escrita como f(x) = (x^2+2)^-100 . Isso nos ajuda a aplicar a regra do poder de forma mais direta.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do poder, que diz que se temos uma função g(x) = (h(x))^n , então a derivada g'(x) = n cdot (h(x))^n-1 cdot h'(x) . No nosso caso, h(x) = x^2+2 e n = -100 .

Passo 4

Aplicando a regra do poder:
f'(x) = -100 cdot (x^2+2)^-101 cdot ddx(x^2+2)
Agora, precisamos encontrar a derivada de h(x) = x^2+2 . A derivada de x^2 é 2x e a derivada de uma constante (2) é 0. Então, h'(x) = 2x .

Passo 5

Substituindo h'(x) de volta na expressão da derivada:
f'(x) = -100 cdot (x^2+2)^-101 cdot 2x
Podemos simplificar isso multiplicando os coeficientes:
f'(x) = -200x cdot (x^2+2)^-101

Resposta

A derivada da função é f'(x) = -200x cdot (x^2+2)^-101 .

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