Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a derivada da função
Informações dadas e observações imediatas:
- A função está escrita como um quociente com raiz cúbica no denominador.
- É útil notar o domínio: o denominador não pode ser zero, então
, ou seja .
Não vou resolver ainda; só identifiquei claramente o que é pedido e a forma da função.
Passo 2
Reescrever a função numa forma de potência facilita a derivação. Vou transformar a raiz e a potência em expoentes racionais:
A raiz cúbica de é
e, por propriedades de potências, isso é
. Como temos o inverso, obtemos
A raiz cúbica de
Passo 3
Vou explicar as regras que vou usar, do jeitinho passo a passo:
- Regra da potência (caso simples): se
com real e sendo a variável, então . Aqui pode ser fracionário. - Regra da cadeia (explicada de forma simples): se
e , então a derivada em relação a é . Ou seja, deriva-se a função externa em relação à interna e multiplica pelo derivado da interna.
Aplicando à nossa função: a parte externa é a potênciae a parte interna é .
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia com
:
- Derivada da parte externa em termos de
: . - Derivada da parte interna:
.
Multiplicando os dois resultados (regra da cadeia):
onde
.
Passo 5
Simplifico o fator numérico:
. Substituindo
de volta,
Passo 6
Opcionalmente, escrever em forma de raiz para ficar mais intuitivo: como
, temos
Também vale lembrar o domínio: a função original e sua derivada não estão definidas em
(porque o denominador seria zero).