Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{(3 x-4)^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a derivada da função
f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{(3x-4)^{2}}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função está escrita como um quociente com raiz cúbica no denominador.
  • É útil notar o domínio: o denominador não pode ser zero, então 3x-4\neq0, ou seja x\neq\frac{4}{3}.
    Não vou resolver ainda; só identifiquei claramente o que é pedido e a forma da função.

Passo 2

Reescrever a função numa forma de potência facilita a derivação. Vou transformar a raiz e a potência em expoentes racionais:
A raiz cúbica de (3x-4)^{2} é ((3x-4)^{2})^{1/3} e, por propriedades de potências, isso é (3x-4)^{2/3}. Como temos o inverso, obtemos
f(x)=(3x-4)^{-2/3}.

Passo 3

Vou explicar as regras que vou usar, do jeitinho passo a passo:
  • Regra da potência (caso simples): se y=t^{n} com n real e t sendo a variável, então \dfrac{dy}{dt}=n\,t^{\,n-1}. Aqui n pode ser fracionário.
  • Regra da cadeia (explicada de forma simples): se y=g(u) e u=u(x), então a derivada em relação a x é \dfrac{dy}{dx}=g'(u)\cdot u'(x). Ou seja, deriva-se a função externa em relação à interna e multiplica pelo derivado da interna.
    Aplicando à nossa função: a parte externa é a potência u\mapsto u^{-2/3} e a parte interna é u(x)=3x-4.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia com u(x)=3x-4:
  • Derivada da parte externa em termos de u: \dfrac{d}{du}u^{-2/3} = -\dfrac{2}{3}u^{-5/3}.
  • Derivada da parte interna: u'(x)=\dfrac{d}{dx}(3x-4)=3.
    Multiplicando os dois resultados (regra da cadeia):
f'(x)=\left(-\dfrac{2}{3}u^{-5/3}\right)\cdot 3
onde u=3x-4.

Passo 5

Simplifico o fator numérico: -\dfrac{2}{3}\cdot 3 = -2. Substituindo u=3x-4 de volta,
f'(x) = -2(3x-4)^{-5/3}.

Passo 6

Opcionalmente, escrever em forma de raiz para ficar mais intuitivo: como a^{5/3}=\sqrt[3]{a^{5}}, temos
f'(x) = -\dfrac{2}{\sqrt[3]{(3x-4)^{5}}}.
Também vale lembrar o domínio: a função original e sua derivada não estão definidas em x=\dfrac{4}{3} (porque o denominador seria zero).

Resposta

-2(3x-4)^{-5/3}

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