Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Dados importantes que vamos usar (retirei os expoentes das raízes):
- A função pode ser escrita como produto de duas potências:
- O que é pedido: calcular
, a derivada em relação a .
Passo 2
Escolha do método: a função é um produto de duas funções de
. Então usamos a regra do produto:
Além disso cada fator tem a forma
, então usaremos também a regra da cadeia combinada com a regra da potência:
Vou aplicar essas duas regras.
Passo 3
Defino as partes do produto:
Agora calculo
usando a regra da cadeia e da potência:
- A função interna é
com . - O expoente é
.
Aplicandoobtenho
Passo 4
Calculo
da mesma forma:
- A função interna é
com . - O expoente é
.
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando
, fica
Passo 5
Aplico a regra do produto:
Substituindo
encontrados:
Passo 6
Agora faço uma simplificação algébrica para escrever
de forma mais compacta. Vou fatorar um fator comum. Observe que os menores expoentes em cada base são
e
. Então fatoro
Dividindo cada termo por
:
Primeiro termo dividido por
:
Segundo termo dividido por
:
Somando as duas partes dentro do fator comum:
Passo 7
Faço as contas dentro do colchete para simplificar o polinômio:
Calculo
. Então
Factorizando
e simplificando:
Portanto