Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=(\sqrt[5]{4 x+1}) \sqrt[3]{\left(3 x^{2}+2\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=(\sqrt[5]{4 x+1}) \sqrt[3]{\left(3 x^{2}+2\right)^{2}}.
Dados importantes que vamos usar (retirei os expoentes das raízes):
  • A função pode ser escrita como produto de duas potências: f(x)=(4x+1)^{1/5}\,(3x^{2}+2)^{2/3}.
  • O que é pedido: calcular f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Escolha do método: a função é um produto de duas funções de x. Então usamos a regra do produto:
\text{Se }f(x)=u(x)\,v(x)\text{ então }f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).ã
Além disso cada fator tem a forma (g(x))^{n}, então usaremos também a regra da cadeia combinada com a regra da potência:
\text{Se }h(x)=(g(x))^{n}\text{ então }h'(x)=n\,(g(x))^{n-1}\,g'(x).ã
Vou aplicar essas duas regras.

Passo 3

Defino as partes do produto:
u(x)=(4x+1)^{1/5},\qquad v(x)=(3x^{2}+2)^{2/3}.
Agora calculo u'(x) usando a regra da cadeia e da potência:
  • A função interna é g(x)=4x+1 com g'(x)=4.
  • O expoente é n=\tfrac{1}{5}.
    Aplicando u'(x)=n\,g(x)^{n-1}\,g'(x) obtenho
u'(x)=\tfrac{1}{5}(4x+1)^{\tfrac{1}{5}-1}\cdot 4 =\tfrac{4}{5}(4x+1)^{-4/5}.

Passo 4

Calculo v'(x) da mesma forma:
  • A função interna é h(x)=3x^{2}+2 com h'(x)=6x.
  • O expoente é m=\tfrac{2}{3}.
    Aplicando a regra da cadeia:
v'(x)=\tfrac{2}{3}(3x^{2}+2)^{\tfrac{2}{3}-1}\cdot 6x =\tfrac{2}{3}\cdot 6x\,(3x^{2}+2)^{-1/3}.
Simplificando \tfrac{2}{3}\cdot 6x=4x, fica
v'(x)=4x\,(3x^{2}+2)^{-1/3}.

Passo 5

Aplico a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v' encontrados:
f'(x)=\tfrac{4}{5}(4x+1)^{-4/5}(3x^{2}+2)^{2/3} + (4x+1)^{1/5}\cdot 4x\,(3x^{2}+2)^{-1/3}.

Passo 6

Agora faço uma simplificação algébrica para escrever f'(x) de forma mais compacta. Vou fatorar um fator comum. Observe que os menores expoentes em cada base são (4x+1)^{-4/5} e (3x^{2}+2)^{-1/3}. Então fatoro
C=(4x+1)^{-4/5}(3x^{2}+2)^{-1/3}.
Dividindo cada termo por C:
Primeiro termo dividido por C:
\frac{\tfrac{4}{5}(4x+1)^{-4/5}(3x^{2}+2)^{2/3}}{C} =\tfrac{4}{5}(3x^{2}+2)^{2/3-(-1/3)} =\tfrac{4}{5}(3x^{2}+2)^{1} =\tfrac{4}{5}(3x^{2}+2).
Segundo termo dividido por C:
\frac{(4x+1)^{1/5}\cdot 4x\,(3x^{2}+2)^{-1/3}}{C} =4x\,(4x+1)^{1/5-(-4/5)} =4x\,(4x+1)^{1}.
Somando as duas partes dentro do fator comum:
f'(x)=C\left[\tfrac{4}{5}(3x^{2}+2)+4x(4x+1)\right].

Passo 7

Faço as contas dentro do colchete para simplificar o polinômio:
\tfrac{4}{5}(3x^{2}+2)+4x(4x+1) =\tfrac{12}{5}x^{2}+\tfrac{8}{5}+16x^{2}+4x =\left(\tfrac{12}{5}+16\right)x^{2}+4x+\tfrac{8}{5}.
Calculo \tfrac{12}{5}+16=\tfrac{12+80}{5}=\tfrac{92}{5}. Então
\cdots =\tfrac{92}{5}x^{2}+4x+\tfrac{8}{5}.
Factorizando \tfrac{1}{5} e simplificando:
\tfrac{92}{5}x^{2}+4x+\tfrac{8}{5}=\tfrac{4}{5}\bigl(23x^{2}+5x+2\bigr).
Portanto
f'(x)= (4x+1)^{-4/5}(3x^{2}+2)^{-1/3}\cdot \tfrac{4}{5}\bigl(23x^{2}+5x+2\bigr).

Resposta

\displaystyle f'(x)=\tfrac{4}{5}\bigl(23x^{2}+5x+2\bigr)\,(4x+1)^{-4/5}\,(3x^{2}+2)^{-1/3}

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