Encontre a derivada das seguintes funções:
f(t)=\frac{-3}{2 t}

Passo 1

O problema pede para encontrar a derivada da função
f(t)=\frac{-3}{2 t}.
Informações dadas:
  • A função é f(t)=\dfrac{-3}{2t}.
  • A variável independente é t.
  • Implicitamente, o domínio exige t\neq 0 (não podemos dividir por zero).
    Nenhuma outra informação é solicitada.

Passo 2

Escolha do método: aqui é mais simples usar a regra do fator constante junto com a regra da potência (método mais básico e rápido). Vou explicar essas regras antes de aplicar.

Passo 3

Reescrevemos a função para ficar no formato que a regra da potência usa. Observa que
\frac{-3}{2t} = -\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{t} = -\frac{3}{2} t^{-1}.
Aqui -\tfrac{3}{2} é uma constante e t^{-1} é uma potência de t.

Passo 4

Explicando as regras que vamos usar (mini-aula curtinha):
  • Regra do fator constante: se c é constante e g(t) é diferenciável, então
\frac{d}{dt}\bigl(c\cdot g(t)\bigr)=c\cdot g'(t).
  • Regra da potência: para um expoente real n,
\frac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}.
No nosso caso n=-1.

Passo 5

Aplicando as regras à nossa função. Primeiro calculamos a derivada de t^{-1} usando a regra da potência:
\frac{d}{dt}t^{-1} = -1\cdot t^{-2} = -t^{-2}.
Agora aplicamos o fator constante -\tfrac{3}{2}:
f'(t)= -\frac{3}{2}\cdot\bigl(-t^{-2}\bigr).

Passo 6

Simplificando a expressão:
-\frac{3}{2}\cdot\bigl(-t^{-2}\bigr)=\frac{3}{2}t^{-2}.
Reescrevendo em forma de fração com potência positiva no denominador,
f'(t)=\frac{3}{2t^{2}}.
Lembrete: essa fórmula vale para t\neq 0.

Passo 7

Verificação alternativa (opcional, só para reforçar): usando a regra do quociente \dfrac{u}{v} com u=-3 e v=2t,
\frac{d}{dt}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u' = 0 e v' = 2. Então
f'(t)=\frac{0\cdot(2t)-(-3)\cdot 2}{(2t)^{2}}=\frac{6}{4t^{2}}=\frac{3}{2t^{2}},
que confirma o resultado anterior.

Resposta

f'(t)=\dfrac{3}{2t^{2}}

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